Если положение точки при ее движении по числовой прямой задается функцией \(S = f\left( t \right)\), где t – время движения, то производная функции S – мгновенная скорость движения в момент времени t: \(S’\left( t \right) = v\left( t \right)\). По аналогии с этой моделью вообще говорят о том, что производная функции \(y = f\left( x \right)\) — это есть скорость изменения функции. Вторая производная функции S (или первая производная функции v) – мгновенное ускорение в момент времени t:   \({S^{//}}\left( t \right) = v’\left( t \right) = a\left( t \right)\).

Задача 2. Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} + 2{t^2} — 15\), где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени \(t = 2\;{\text{c}}\).

Ответ

ОТВЕТ: 12.

Решение

Скорость движения – это производная от пути по времени, то есть, чтобы найти закон изменения скорости нужно вычислить производную от пути \(x\left( t \right)\) по времени  t. Следовательно:

\(v\left( t \right) = x’\left( t \right) = {t^2} + 4t.\)

Тогда скорость материальной точки в момент \(t = 2\) с равна:

\(v\left( 2 \right) = {2^2} + 4 \cdot 2 = 12\) м/с.

Ответ: 12.