Если положение точки при ее движении по числовой прямой задается функцией \(S = f\left( t \right)\), где t – время движения, то производная функции S – мгновенная скорость движения в момент времени t: \(S’\left( t \right) = v\left( t \right)\). По аналогии с этой моделью вообще говорят о том, что производная функции \(y = f\left( x \right)\) — это есть скорость изменения функции. Вторая производная функции S (или первая производная функции v) – мгновенное ускорение в момент времени t:   \({S^{//}}\left( t \right) = v’\left( t \right) = a\left( t \right)\).

Задача 5. Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} + {t^2} — 9t + 12\), где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 15 м/с?

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Скорость движения – это производная от пути по времени, то есть, чтобы найти закон изменения скорости нужно вычислить производную от пути \(x\left( t \right)\) по времени  t. Следовательно:

\(v\left( t \right) = x’\left( t \right) = {t^2} + 2t — 9.\)

Найдём момент времени t, когда скорость материальной точки будет равна 15 м/с:

\(15 = {t^2} + 2t — 9\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{t^2} + 2t — 24 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{t_1} = 4,\,\,\,\,{t_2} =  — 6\) с.

По смыслу задачи  \(t \ge 0,\)  поэтому \(t = 4\) с.

Ответ: 4.