Задача 12. Прямая \(y = 8x + 2\) является касательной к графику функции \(y = a\;{x^2} + 18\). Найдите a.
ОТВЕТ: 1.
1 Способ Чтобы прямая \(y = 8x + 2\) была касательной (в какой-либо точке) к графику функции \(y = a\;{x^2} + 18\), производная от неё должна быть равна угловому коэффициенту, то есть, 8 (коэффициент перед x): \(y’ = {\left( {a\,{x^2} + 18} \right)^\prime } = 2\,a\,x\) \(2\,a\,x = 8\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \frac{4}{a}\) Найденное значение является абсциссой точки касания. Так как через точку касания проходит и касательная \(y = 8x + 2\) и функция \(y = a\,{x^2} + 18\), то их значения в этой точке должны быть равны: \(a \cdot {\left( {\frac{4}{a}} \right)^2} + 18 = 8 \cdot \frac{4}{a} + 2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{16}}{a} + 18 = \frac{{32}}{a} + 2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{16}}{a} = 16\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a = 1.\) Ответ: 1. 2 способ Так как прямая \(y = 8x + 2\) является касательной к функции \(y = a\,{x^2} + 18\), которая является параболой, то система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 8x + 2}\\{y = a\,{x^2} + 18}\end{array}} \right.\) должна иметь 1 решение: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 8x + 2}\\{y = a\,{x^2} + 18}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a\,{x^2} + 18 = 8x + 2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,a\,{x^2} — 8x + 16 = 0.\) Полученное квадратное уравнение будет иметь 1 решение, если дискриминант будет равен 0: \(D = 64 — 64\,a = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a = 1.\) Ответ: 1.