Задача 13. Прямая \(y = 6x — 3\) является касательной к графику функции \(y = 3{x^2} + b\,x\). Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
ОТВЕТ: 0
1 способ Чтобы прямая \(y = 6x — 3\) была касательной (в какой-либо точке) к графику функции \(y = 3{x^2} + b\,x\), производная от неё должна быть равна угловому коэффициенту, то есть, 6 (коэффициент перед x): \(y’ = {\left( {3{x^2} + b\,x} \right)^\prime } = 6x + b\) \(6x + b = 6\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \frac{{6 — b}}{6}\) Найденное значение является абсциссой точки касания. Так как через точку касания проходит и касательная \(y = 6x — 3\) и функция \(y = 3{x^2} + b\,x\), то их значения в этой точке должны быть равны: \(3 \cdot {\left( {\frac{{6 — b}}{6}} \right)^2} + b \cdot \frac{{6 — b}}{6} = 6 \cdot \frac{{6 — b}}{6} — 3\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{36 — 12b + {b^2}}}{{12}} + \frac{{6b — {b^2}}}{6} = 3 — b\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,36 — {b^2} = 36 — 12b\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{b_1} = 0;\,\,\,{b_2} = 12.\) При \({b_1} = 0\) абсцисса точки касания \(x = \frac{{6 — 0}}{6} = 1 > 0\), а при \({b_2} = 12\) – \(x = \frac{{6 — 12}}{6} = — 1 < 0\). По условию абсцисса точки касания должна быть больше 0. Следовательно, искомое значение b равно 0. Ответ: 0. 2 способ Так как прямая \(y = 6x — 3\) является касательной к функции \(y = 3{x^2} + b\,x\), которая является параболой, то система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 6x — 3}\\{y = 3{x^2} + b\,x}\end{array}} \right.\) должна иметь 1 решение: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 6x — 3}\\{y = 3{x^2} + bx}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,3{x^2} + b\,x = 6x — 3\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,3{x^2} + \left( {b — 6} \right)x + 3 = 0.\) Полученное квадратное уравнение будет иметь 1 решение, если дискриминант будет равен 0: \(D = {\left( {b — 6} \right)^2} — 36 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{b_1} = 0;\,\,\,\,\,{b_2} = 12.\) Если \({b_1} = 0\), то \(3{x^2} — 6x + 3 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 1\), а при \({b_2} = 12\) получим \(3{x^2} + 6x + 3 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = — 1\). По условию абсцисса точки касания должна быть больше 0. Следовательно, искомое значение b равно 0. Ответ: 0.