Задача 14. Прямая \(y = 2x + 2\) является касательной к графику функции \(y = {x^2} — 4x + c\). Найдите c.
ОТВЕТ: 11.
1 способ Чтобы прямая \(y = 2x + 2\) была касательной (в какой-либо точке) к графику функции \(y = {x^2} — 4x + c\), производная от неё должна быть равна угловому коэффициенту, то есть, 2 (коэффициент перед x): \(y’ = {\left( {{x^2} — 4x + c} \right)^\prime } = 2\,x — 4\) \(2x — 4 = 2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 3\) Найденное значение является абсциссой точки касания. Так как через точку касания проходит и касательная \(y = 2x + 2\) и функция \(y = {x^2} — 4x + c\), то их значения в этой точке должны быть равны: \({3^2} — 4 \cdot 3 + c = 2 \cdot 3 + 2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\, — 3 + c = 8\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,c = 11.\) Ответ: 11. 2 способ Так как прямая \(y = 2x + 2\) является касательной к функции \(y = {x^2} — 4x + c\), которая является параболой, то система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2x + 2}\\{y = {x^2} — 4x + c}\end{array}} \right.\) должна иметь 1 решение: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2x + 2}\\{y = {x^2} — 4x + c}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} — 4x + c = 2x + 2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{x^2} — 6x + c — 2 = 0.\) Полученное квадратное уравнение будет иметь 1 решение, если дискриминант будет равен 0: \(D = 36 — 4\,\left( {c — 2} \right) = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,c = 11.\) Ответ: 11.