Чтобы прямая \(y = — 2x + 6\) была касательной (в какой-либо точке) к графику функции \(y = {x^3} — 3{x^2} + x + 5\), производная от неё должна быть равна угловому коэффициенту касательной, то есть, \( — 2\) (коэффициент перед x):
\(y’ = {\left( {{x^3} — 3{x^2} + x + 5} \right)^\prime } = 3{x^2} — 6x + 1\)
\(3{x^2} — 6x + 1 = — 2\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,3{x^2} — 6x + 3 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 1.\)
Проверим, является ли найденная точка действительно точкой касания. Для этого найдём значение прямой \(y = — 2x + 6\) и функции \(y = {x^3} — 3{x^2} + x + 5\) в точке \(x = 1:\)
\(y\left( 1 \right) = — 2 \cdot 1 + 6 = 4\)
\(y\left( 1 \right) = {1^3} — 3 \cdot {1^2} + 1 + 5 = 4\)
Так как найденные значения равны, то \(x = 1\) является искомой точкой касания.
Ответ: 1.