Задача 5. На рисунке изображены график функции \(y = f\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \({x_0}\). Найдите значение производной функции \(f\left( x \right)\) в точке \({x_0}\).
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим прямоугольный треугольник с вершинами в точках \(A\left( { — 4;\,2} \right),\,\,B\left( { — 1;\,2} \right),\,\,C\left( { — 1;\,8} \right)\) (см. рисунок). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу CAB. Поэтому значение производной в точке \({x_0}\) будет равно \({\rm{tg}}\angle CAB\): \(f’\left( {{x_0}} \right) = {\rm{tg}}\angle CAB = \frac{{CB}}{{AB}} = \frac{6}{3} = 2.\) Ответ: 2.