ЕГЭ профильный уровень. №8 Геометрический смысл производной, касательная. Задача 8

Задача 8. На рисунке изображены график функции \(y = f\left( x \right)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \({x_0}\). Найдите значение производной функции \(f\left( x \right)\) в точке \({x_0}\).

Ответ

ОТВЕТ: — 0,5.

Решение

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим прямоугольный треугольник с вершинами в точках \(A\left( {2;\, — 6} \right),\,\,B\left( { — 2;\, — 6} \right),\,\,C\left( { — 2;\, — 4} \right)\) (см. рисунок). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному углу CAB. Поэтому:

\(f’\left( {{x_0}} \right) = {\rm{tg}}\left( {{{180}^\circ } — \angle CAB} \right) = — {\rm{tg}}\angle CAB = — \dfrac{{CB}}{{AB}} = — \dfrac{2}{4} = — 0,5.\)

Ответ: –0,5.