Задача 9. На рисунке изображен график функции \(y = f\left( x \right)\). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите значение производной функции в точке \({x_0} = 10\).
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим прямую, проходящую через начала координат \(\left( {0;\,0} \right)\) и точку \(\left( {10;\, — 6} \right)\), а также прямоугольный треугольник с вершинами в точках \(A\left( {10;\, — 6} \right),\,\,B\left( {0;\, — 6} \right),\,\,C\left( {0;\,0} \right)\) (см. рисунок). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному углу CAB. Поэтому: \(f’\left( {{x_0}} \right) = {\rm{tg}}\left( {{{180}^\circ } — \angle CAB} \right) = — {\rm{tg}}\angle CAB = — \frac{{CB}}{{AB}} = — \frac{6}{{10}} = — 0,6.\) Ответ: –0,6.