Задача 20. На рисунке изображен график функции \(y = f\left( x \right)\) и отмечены точки \( — 2,\; — 1,\;1,\;4\). В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках –1, 4 (так как в них функция убывает) и положительна в точках –2, 1 (так как в них функция возрастает). Следовательно, значение производной будет наименьшим либо в точке –1, либо в точке 4. В точке 4 касательная образует угол наклона равный \({\rm{\alpha }}\), а в точке –1 угол \({\rm{\beta }}\) (см. рисунок). Так как \({\rm{\alpha }}\, < \,{\rm{\beta }}\) и \({\rm{\alpha }},\,{\rm{\beta }} \in \left( {{{90}^ \circ };\,{{180}^ \circ }} \right)\), то \({\rm{tg}}\,{\rm{\alpha }}\, < \,{\rm{tg}}\,{\rm{\beta }}\), поэтому значение производной из 4 заданных точек в точке 4 будет наименьшим. Ответ: 4.