Задача 21. Функция \(y = f\left( x \right)\) определена и непрерывна на отрезке \(\left[ { — 5;\,5} \right]\). На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наименьшее значение, если \(f\left( { — 5} \right) \geqslant f\left( 5 \right)\).
На промежутках \(\left[ { — 5;\, — 3} \right]\) и \(\left[ {3;\,5} \right]\) производная принимает неотрицательные значения, следовательно, они являются промежутками возрастания функции \(f\left( x \right)\), а на промежутке \(\left[ { — 3;3} \right]\) производная принимает неположительные значения, следовательно, он является промежутком убывания функции \(f\left( x \right)\) (см. рисунок). Поэтому функция будет принимать наименьшее значения либо в точке –5, либо в точке 3. Так как по условию \(f\left( { — 5} \right) \ge f\left( 5 \right)\), а \(f\left( 5 \right) > f\left( 3 \right)\), то \(f\left( 3 \right) < f\left( { — 5} \right).\) Поэтому наименьшее значение функции \(f\left( x \right)\) на отрезке \(\left[ { — 5;\,5} \right]\) будет в точке 3. Ответ: 3.