ЕГЭ Профиль. Применение производной к исследованию функций. Задача 7math100admin44242026-08-30T20:42:29+03:00
Задача 7. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\), определенной на интервале \(\left( { — 10;7} \right)\). Найдите количество точек минимума функции \(f\left( x \right)\), принадлежащих отрезку \(\left[ { — 6;\;2} \right]\).
Решение
Значение производной \(f’\left( x \right)\) в точках максимума и минимума функции \(f\left( x \right)\) равно нулю. При этом в точках максимума производная меняет знак с «+» на «-», а в точках минимума с «-» на «+». Следовательно, для нахождения количества точек минимума необходимо найти количество нулевых значений производной при переходе через которые знак производной меняется с «-» на «+». В данном случае на отрезке \(\left[ { — 6;\,2} \right]\) производная равна нулю в точках \(x = — 5,\,\,x = — 3,\,\,x = — 1\) (выделены красным цветом см. рисунок). На промежутках \(\left[ { — 5;\, — 3} \right]\) и \(\left[ { — 1;\,2} \right]\) график производной расположен ниже оси Ox, следовательно, производная принимает неположительные значения, а на промежутках \(\left[ { — 6;\, — 5} \right]\) и \(\left[ { — 3;\, — 1} \right]\) график производной расположен выше оси Ox, следовательно, производная принимает неотрицательные значения. Таким образом, производная меняет знак с «-» на «+» только при переходе через точку \(x = — 3\), поэтому функция имеет 1 точку минимума.
Ответ: 1.