Задача 8. На рисунке изображен график \(y = f’\left( x \right)\) — производной функции \(f\left( x \right)\), определенной на интервале \(\left( { — 11;11} \right)\). Найдите количество точек экстремума функции \(f\left( x \right)\), принадлежащих отрезку \(\left[ { — 8;\;10} \right]\).
Значение производной \(f’\left( x \right)\) в точках экстремума (в точках максимума и минимума) функции \(f\left( x \right)\) равно нулю. При этом в точках максимума производная меняет знак с «+» на «-», а в точках минимума с «-» на «+». Следовательно, для нахождения количества точек экстремума необходимо найти количество нулевых значений производной при переходе через которые знак производной меняется. В данном случае на отрезке \(\left[ { — 8;\,10} \right]\) производная равна нулю в точках \(x = — 7,\,\,x = — 1,\,\,x = 4\) (выделены красным цветом см. рисунок). На промежутках \(\left[ { — 8;\, — 7} \right]\) и \(\left[ { — 1;\,4} \right]\) график производной расположен ниже оси Ox, следовательно, производная принимает неположительные значения, а на промежутках \(\left[ { — 7;\, — 1} \right]\) и \(\left[ {4;\,10} \right]\) график производной расположен выше оси Ox, следовательно, производная принимает неотрицательные значения. Таким образом, производная меняет знак при переходе через точки \(x = — 7,\,\,x = — 1,\,\,x = 4\), поэтому функция имеет 3 точки экстремума. Ответ: 3.