ЕГЭ профильный уровень. №8 Первообразная. Задача 7math100admin44242025-04-03T20:27:17+03:00
Задача 7. На рисунке изображён график некоторой функции \(y = f\left( x \right)\). Функция \(F\left( x \right) = — {x^3} — \dfrac{9}{2}{x^2} — 6x — \dfrac{{123}}{7}\) — одна из первообразных функции \(f\left( x \right)\). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение
Площадь закрашенной фигуры равна интегралу \(\int\limits_{ — 2}^{ — 1} {\left( x \right)dx} = F\left( { — 1} \right) — F\left( { — 2} \right).\) Найдём значение первообразной в точках – 1 и – 2:
\(F\left( { — 1} \right) = — {\left( { — 1} \right)^3} — \dfrac{9}{2} \cdot {\left( { — 1} \right)^2} — 6 \cdot \left( { — 1} \right) — \dfrac{{123}}{7} = 1 — \dfrac{9}{2} + 6 — \dfrac{{123}}{7} = 2,5 — \dfrac{{123}}{7}\)
\(F\left( { — 2} \right) = — {\left( { — 2} \right)^3} — \dfrac{9}{2} \cdot {\left( { — 2} \right)^2} — 6 \cdot \left( { — 2} \right) — \dfrac{{123}}{7} = 8 — 18 + 12 — \dfrac{{123}}{7} = 2 — \dfrac{{123}}{7}\)
Тогда площадь закрашенной фигуры:
\(S = F\left( { — 1} \right) — F\left( { — 2} \right) = 2,5 — \dfrac{{123}}{7} — \left( {2 — \dfrac{{123}}{7}} \right) = 0,5\)
Ответ: 0,5.