Задача 7. На рисунке изображён график некоторой функции \(y = f\left( x \right)\). Функция \(F\left( x \right) =  — {x^3} — \frac{9}{2}{x^2} — 6x — \frac{{123}}{7}\) — одна из первообразных функции \(f\left( x \right)\). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.

Решение

Площадь закрашенной фигуры равна интегралу  \(\int\limits_{ — 2}^{ — 1} {\left( x \right)dx}  = F\left( { — 1} \right) — F\left( { — 2} \right).\) Найдём значение первообразной в точках   – 1 и   – 2:

\(F\left( { — 1} \right) =  — {\left( { — 1} \right)^3} — \frac{9}{2} \cdot {\left( { — 1} \right)^2} — 6 \cdot \left( { — 1} \right) — \frac{{123}}{7} = 1 — \frac{9}{2} + 6 — \frac{{123}}{7} = 2,5 — \frac{{123}}{7}\)

\(F\left( { — 2} \right) =  — {\left( { — 2} \right)^3} — \frac{9}{2} \cdot {\left( { — 2} \right)^2} — 6 \cdot \left( { — 2} \right) — \frac{{123}}{7} = 8 — 18 + 12 — \frac{{123}}{7} = 2 — \frac{{123}}{7}\)

Тогда площадь закрашенной фигуры: 

\(S = F\left( { — 1} \right) — F\left( { — 2} \right) = 2,5 — \frac{{123}}{7} — \left( {2 — \frac{{123}}{7}} \right) = 0,5\)

Ответ: 0,5.