Задача 10. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением \(T\left( t \right) = {T_0} + b\,t + a\,{t^2}\), где t — время в минутах, \({T_0} = 1400\) К, \(a\, =  — 10\) К/мин2, \(b = 200\,\) К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Определим когда температура нагревателя будем не более 1 760 К. Для этого необходимо решить неравенство:  \(T\left( t \right) \leqslant 1760.\)

\(1400 + 200t — 10{t^2} \leqslant 1760\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\, — 10{t^2} + 200t — 360 \leqslant 0\,\,|\,:\,\left( { — 10} \right)\)

\({t^2} — 20t + 36 \geqslant 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,t \in \left( { — \infty ;\,2} \right] \cup \left[ {18;\,\infty } \right).\)

Через 2 минуты после включения прибор нагреется до 1760 К, и при дальнейшем нагревании может испортиться. Таким образом, наибольшее время после начала работы когда прибор нужно отключить это 2 минуты.

Ответ: 2.