Задача 14.
Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трех однородных соосных цилиндров: центрального массой \(m = 8\) кг и радиуса \(R = 10\) см, и двух боковых с массами \(M = 1\) кг и с радиусами \(R + h\). При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг·см2, задается формулой \(I = \frac{{\left( {m + 2M} \right){R^2}}}{2} + M\left( {2Rh + {h^2}} \right)\). При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения  625 кг·см2? Ответ выразите в сантиметрах

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Решение

Задача сводится к нахождению наибольшего решения следующего неравенства: \(I \leqslant 625.\)

\(\frac{{\left( {8 + 2 \cdot 1} \right) \cdot {{10}^2}}}{2} + 1 \cdot \left( {2 \cdot 10 \cdot h + {h^2}} \right) \leqslant 625\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{h^2} + 20h — 125 \leqslant 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,h \in \left[ { — 25;\,5} \right].\)

Следовательно, наибольшее значение h = 5 см.

Ответ: 5.