Задача 18. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием \(f = 30\) см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение \(\frac{1}{{{d_1}}} + \frac{1}{{{d_2}}} = \frac{1}{f}\). Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ

ОТВЕТ: 36.

Решение

Так как  = 30 см,  то  \(\frac{1}{{{d_1}}} + \frac{1}{{{d_2}}} = \frac{1}{{30}}.\)  Расстояние от линзы до лампочки d1 должно быть наименьшим, тогда слагаемое \(\frac{1}{{{d_1}}}\) должно принимать наибольшее значение, а слагаемое \(\frac{1}{{{d_2}}}\) соответственно наоборот наименьшее, которое будет получено при наибольшем значении d2. Следовательно, d2 = 180.

\(\frac{1}{{{d_1}}} + \frac{1}{{180}} = \frac{1}{{30}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{1}{{{d_1}}} = \frac{1}{{30}}\, — \frac{1}{{180}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{1}{{{d_1}}} = \frac{1}{{36}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{d_1} = 36\) см.

По условию задачи расстояние d1 от линзы до лампочки меняется в пределах от 30 до 50. Следовательно, найденное значение удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 36.