Задача 19. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \({f_0} = 440\) Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону \(f\left( v \right) = \frac{{{f_0}}}{{1 — \frac{v}{c}}}\) (Гц), где c — скорость звука в (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а \(c = 315\) м/с. Ответ выразите в м/с.
Решение
Так как частота второго гудка f больше первого и человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, то задача сводится к решению рационального неравенства: \(f\left( v \right) \geqslant 440 + 10 = 450.\)
\(\frac{{440}}{{1 — \frac{v}{{315}}}} \geqslant 450\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\frac{{440}}{{450}} \geqslant 1 — \frac{v}{{315}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{v}{{315}} \geqslant 1 — \frac{{44}}{{45}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\frac{v}{{315}} \geqslant \frac{1}{{45}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,v \geqslant 7\) м/с.
Следовательно, наименьшая скорость тепловоза v = 7 м/с.
Ответ: 7.