Задача 4. Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой \(q = 100 — 10p\). Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле \(r\left( p \right) = q \cdot p\). Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка \(r\left( p \right)\) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
Задача сводится к решению неравенства:
\(r\left( p \right) \geqslant 240;\,\,\,\,\,\,q \cdot p \geqslant 240;\,\,\,\,p\left( {100 — 10p} \right) \geqslant 240\)
\( — 10{p^2} + 100p — 240 \geqslant 0\,\,|\,\,:\,\left( { — 10} \right)\)
\({p^2} — 10p + 24 \leqslant 0\)
\({p^2} — 10p + 24 = 0;\,\,\,\,{p_1} = 4,\,\,\,\,\,{p_2} = 6\)
Следовательно, \(p \in \left[ {4;\,6} \right]\). Наибольшая цена p = 6 тыс. рублей.
Ответ: 6.