Задача 6. Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна \(P = m\left( {\frac{{{v^2}}}{L} — g} \right)\), где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте \(g = 10\) м/с2). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Вода не будет выливаться, если \(P\left( v \right) \geqslant 0.\)  Следовательно, задача сводится к решению неравенства: \(m\left( {\frac{{{v^2}}}{L} — g} \right) \geqslant 0\). Так как  m > 0,  то  \(\frac{{{v^2}}}{L} — g \geqslant 0\),  где  g = 10 м/c2  и  L = 40 см = 0,4 м.

\(\frac{{{v^2}}}{{0,4}} — 10 \geqslant 0;\,\,\,\,\,\,\,\,{v^2} \geqslant 4\)

Следовательно,  \(v \in \left( { — \infty ;\, — 2} \right] \cup \left[ {2;\,\infty } \right)\), но так как v > 0, то \(v \in \left[ {2;\,\infty } \right)\). Наименьшая скорость v = 2 м/с.

Ответ: 2.