Задача 7. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону \(H\left( t \right) = {H_0} — \sqrt {2g{H_0}} \,k\,t + \frac{g}{2}{k^2}{t^2}\), где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, \({H_0} = 20\) м — начальная высота столба воды, \(k = \frac{1}{{50}}\) — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте \(g = 10\) м/с2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

Ответ

ОТВЕТ: 50.

Решение

Так как в баке должна остаться четверть первоначального объёма воды, то \(H = \frac{1}{4}{H_0} = \frac{1}{4} \cdot 20 = 5\).

\(\frac{g}{2}{k^2}{t^2} — \sqrt {2g{H_0}} \,k\,t + {H_0} = H\)

Пусть k t = x. Тогда:      \(\frac{{10}}{2}{x^2} — \sqrt {2 \cdot 10 \cdot 20} \,x + 20 = 5\)

\(5{x^2} — 20\,x + 15 = 0\,\,|\,\,:\,\,\,5\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} — 4\,x + 3 = 0\,\)

\({x_1} = 1;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 3\)

\(k\,t = 1;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\,t = 3\)

\(\frac{1}{{50}}\,t = 1;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{50}}\,t = 3\)

\(\,{t_1} = 50;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{t_2} = 150\)

Следовательно, через  t1 = 50 с  в баке останется четверть первоначального объёма.

Ответ: 50

Замечание: Почему не подходит t2 = 150 с? Если в исходную формулу вместо H подставить 0, то есть определить за какое время вода полностью вытечет из бака, то получим t = 100. Следовательно, через 100 секунд в баке не останется воды. Поэтому t2 = 150 с не подходит.