Задача 9. Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой \(y = a\,{x^2} + b\,x\), где \(a = — \frac{1}{{100}}\) м-1, \(b = 1\) — постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?
Высота стены равна 8 м. Так как камни должны пролетать над стеной на высоте не менее 1 метра, то задача сводится к решению неравенства: \(y \geqslant 8 + 1 = 9\)
\( — \frac{1}{{100}}{x^2} + x \geqslant 9\,\,|\, \cdot \,\left( { — 100} \right)\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} — 100x + 900 \leqslant 0\,\)
\({x^2} — 100x + 900 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x_1} = 10;\,\,\,\,\,\,{x_2} = 90\)
Следовательно, \(x \in \left[ {10;\,90} \right]\) и наибольшее расстояние на котором нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра равно 90 метров.
Ответ: 90.