Задача 2. При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону \(l = {l_0}\sqrt {1 — \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} \), где \({l_0} = 5\) м — длина покоящейся ракеты, \(c = 3 \cdot {10^5}\) км/с — скорость света, а v — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.

Ответ

ОТВЕТ: 180000.

Решение

Задача сводится к решению следующего неравенства:  \(l \leqslant 4\).

\(5 \cdot \sqrt {1 — \frac{{{v^2}}}{{{{\left( {3 \cdot {{10}^5}} \right)}^2}}}}  \leqslant 4\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\sqrt {1 — \frac{{{v^2}}}{{{{\left( {3 \cdot {{10}^5}} \right)}^2}}}}  \leqslant \frac{4}{5}\)

Возведём обе части неравенства в квадрат:

\(1 — \frac{{{v^2}}}{{{{\left( {3 \cdot {{10}^5}} \right)}^2}}} \leqslant \frac{{16}}{{25}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{{v^2}}}{{{{\left( {3 \cdot {{10}^5}} \right)}^2}}} \geqslant \frac{9}{{25}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{v}{{3 \cdot {{10}^5}}} \geqslant \frac{3}{5}\)

\(v \geqslant \frac{{3 \cdot 3 \cdot {{10}^5}}}{5}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,v \geqslant 180\,000\)

Следовательно, наименьшее  значение  v = 180 000 км/с.

Ответ: 180 000.