ЕГЭ профильный уровень. №9 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Задача 2

Задача 2. В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону \(m\left( t \right) = {m_0} \cdot {2^{ — \frac{t}{T}}}\), где \({m_0}\) — начальная масса изотопа, t (мин) — прошедшее от начального момента время, T — период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени \({m_0} = 40\) мг изотопа Z, период полураспада которого \(T = 10\) мин. В течение скольких минут масса изотопа будет не меньше 5 мг?

Ответ

ОТВЕТ: 30.

Решение

Задача сводится к решению следующего неравенства: \(m \geqslant 5\).

\(40 \cdot {2^{ — \,\,\frac{t}{{10}}}}\, \geqslant 5\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{2^{ — \,\,\frac{t}{{10}}}}\, \geqslant \dfrac{1}{8}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{2^{ — \,\,\frac{t}{{10}}}}\, \geqslant {2^{ — 3}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\, — \,\,\dfrac{t}{{10}} \geqslant — 3\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,t \leqslant 30.\)

Следовательно, в течение t = 30 мин масса изотопа будет не меньше 5 мг.

Ответ: 30.