Задача 3. Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде \(p\,{V^a} = const\), где p (Па) — давление в газе, V — объем газа в кубических метрах, a — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение вдвое раз объема газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?
Решение
Пусть p1 и v1 — начальные, а p2 и v2 — конечные значения объема и давления газа, соответственно. Из условия \(p \cdot {v^a} = const\) следует, что:
\({p_1} \cdot v_1^a = {p_2} \cdot v_2^a\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = \dfrac{{v_1^a}}{{v_2^a}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = {\left( {\dfrac{{{v_1}}}{{{v_2}}}} \right)^a}.\)
Следовательно, задача сводится к решению следующего неравенства \(\dfrac{{{p_2}}}{{{p_1}}} \geqslant 4\) при условии, что \(\dfrac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = 2.\)
\({\left( {\dfrac{{{v_1}}}{{{v_2}}}} \right)^a} \geqslant 4\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{2^a} \geqslant 4\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{2^a} \geqslant {2^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a \geqslant 2.\)
Следовательно, наименьшее значение a = 2.
Ответ: 2.