Задача 10. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону \(v\left( t \right) = 5\sin \pi \,t\) (см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
Решение
Задача сводится к решению неравенства: \(5\sin \pi \,t > 2,5\) при \(t \in \left[ {0;\,1} \right].\)
\(5\sin \pi t > 2,5\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin \pi t > \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{\pi }{6} + 2\pi k < \pi \,t < \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{1}{6} + 2k < t < \frac{5}{6} + 2k,\,\,\,\,k \in z.\)
При k = 0 получим \(\frac{1}{6} < t < \frac{5}{6}.\) Так как по условию \(t \in \left[ {0;\,1} \right]\), то \(t \in \left( {\frac{1}{6};\frac{5}{6}} \right)\), что составляет \(\frac{5}{6} — \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) от первой секунды, то есть, округляя до сотых, получим 0,67. Если k ≠ 0, то \(t \notin \left[ {0;\,1} \right]\).
Ответ: 0,67.