ЕГЭ Профиль №9. Тригонометрические уравнения и неравенства. Задача 14

Задача 14. При нормальном падении света с длиной волны \(\lambda = 400\) нм на дифракционную решетку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол \(\varphi \) (отсчитываемый от перпендикуляра к решетке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением \(d\sin \varphi = k\,\lambda \). Под каким минимальным углом \(\varphi \) (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решетке с периодом, не превосходящим 1600 нм?

Ответ

ОТВЕТ: 30.

Решение

Задача сводится к решению неравенства: \(d \leqslant 1\,600\), где \(\lambda = 400\) нм, номер максимума k = 2 и \(\varphi \in \left( {0;{{90}^\circ }} \right).\)

\(\dfrac{{k \cdot \lambda }}{{\sin \varphi }}\,\, \leqslant 1600\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,1600\sin \varphi \geqslant 2 \cdot 400\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin \varphi \geqslant \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\mathop \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < \varphi < {{90}^\circ }} \,\,\,\,\,\,{30^\circ } \leqslant \varphi < {90^\circ }.\)

Следовательно, наименьшее значение \(\varphi = {30^\circ }.\)

Ответ: 30.