Задача 16. Небольшой мячик бросают под острым углом \(\alpha \) к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле \(L = \frac{{v_0^2}}{g}\sin 2\alpha \) (м), где \({v_0} = 20\) м/с — начальная скорость мячика, а g — ускорение свободного падения (считайте \(g = 10\) м/с2). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?

Ответ

ОТВЕТ: 15.

Решение

Задача сводится к решению неравенства: \(L \geqslant 20\), где g = 10 м/с2, v0 = 20 м/с и \(\alpha \in \left( {0;{{90}^\circ }} \right).\)

\(\frac{{v_0^2}}{g}\sin 2\alpha \, \geqslant 20\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{{{{20}^2}}}{{10}}\sin 2\alpha \geqslant 20\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin 2\alpha \geqslant \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\mathop \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < 2\alpha < {{180}^\circ }} \)

\(\mathop \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < 2\alpha < {{180}^\circ }} \,\,\,\,{30^\circ } \leqslant 2\alpha \leqslant {150^\circ }\,\,\,\,\,\,\,\mathop \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < \alpha < {{90}^\circ }} \,\,\,\,{15^\circ } \leqslant \alpha \leqslant {75^\circ }.\)

Следовательно, наименьшее значение \(\alpha = {15^\circ }.\)
Ответ: 15.