ЕГЭ Профиль №9. Тригонометрические уравнения и неравенства. Задача 17

Задача 17. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону \(U = {U_0}\cos \left( \omega \,t + \varphi \right),\) где t — время в секундах, амплитуда U₀ = 2 В, частота \(\omega = 150^ \circ /c,\) фаза \(\varphi = — {60^ \circ }.\) Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Ответ

ОТВЕТ: 80.

Решение

Задача сводится к решению неравенства: \({U_0}\cos \left( {\omega \,t + \varphi } \right) \geqslant 1,\) где U₀ = 2 В, \(\omega = {150^ \circ }/c,\) \(\varphi = — {60^ \circ }\) и \(t \in \left[ {0;\,1} \right].\)

\(2\cos \left( {{{150}^\circ }\,t — {{60}^\circ }} \right) \geqslant 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\cos \left( {{150}^\circ }\,t — {{60^\circ }} \right) \geqslant \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\, — {60^\circ } + {360^\circ } \cdot k \leqslant {150^\circ }\,t — {60^\circ } \leqslant {60^\circ } + {360^\circ } \cdot k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{0^\circ } + {360^\circ } \cdot k \leqslant {150^\circ }\,t \leqslant {120^\circ } + {360^\circ } \cdot k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\dfrac{{12}}{5}k \leqslant t \leqslant \dfrac{4}{5} + \dfrac{{12}}{5}k,\,\,\,\,\,k \in z.\)

При k = 0 получим \(0 \leqslant t \leqslant \dfrac{4}{5}.\) Так как по условию \(t \in \left[ {0;\,1} \right]\), то \(t \in \left[ {0;\,\dfrac{4}{5}} \right]\), что составляет \(\dfrac{4}{5}\) от первой секунды, то есть 80%. Если k ≠ 0, то \(t \notin \left[ {0;\,1} \right]\).

Ответ: 80.