Задача 3. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону \(U = {U_0}\sin \left( {\omega \,t + \varphi } \right)\), где t — время в секундах, амплитуда \({U_0} = 2\) В, частота \(\omega  = {120^ \circ }/c,\) фаза \(\varphi  =  — {30^ \circ }\). Датчик настроен так, что если напряжение в нем не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Ответ

ОТВЕТ: 50.

Решение

Задача сводится к решению неравенства:  \({U_0}\sin \left( {\omega \,t + \varphi } \right) \geqslant 1,\)  где U0 = 2 В, \(\omega  = {120^ \circ }/c,\)  \(\varphi  =  — {30^ \circ }\)  и  \(t \in \left[ {0;\,1} \right].\)

\(2\sin \left( {{{120}^\circ }\,t — {{30}^\circ }} \right) \geqslant 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin \left( {{{120}^\circ }\,t — {{30}^\circ }} \right) \geqslant \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{30^\circ } + {360^\circ } \cdot k \leqslant {120^\circ }\,t — {30^\circ } \leqslant {150^\circ } + {360^\circ } \cdot k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{60^\circ } + {360^\circ } \cdot k \leqslant {120^\circ }\,t \leqslant {180^\circ } + {360^\circ } \cdot k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\frac{1}{2} + 3k \leqslant t \leqslant \frac{3}{2} + 3k,\,\,\,\,\,k \in z.\)

При k = 0  получим  \(\frac{1}{2} \leqslant t \leqslant \frac{3}{2}.\)  Так как по условию  \(t \in \left[ {0;\,1} \right]\),  то  \(t \in \left[ {\frac{1}{2};\,1} \right]\), что составляет половину от первой секунды, то есть 50%. Если k ≠ 0, то \(t \notin \left[ {0;\,1} \right]\).

Ответ: 50.