Задача 5. Небольшой мячик бросают под острым углом \(\alpha \) к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полета мячика, выраженная в метрах, определяется формулой  \(H = \frac{{v_0^2}}{{4g}}\left( {1 — \cos 2\alpha } \right)\), где \({v_0} = 20\) м/с — начальная скорость мячика, а g — ускорение свободного падения (считайте \(g = 10\) м/с2). При каком наименьшем значении угла \(\alpha \) (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?

Ответ

ОТВЕТ: 30.

Решение

Так как мячик должен пролететь над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м, то задача сводится к решению неравенства  \(\frac{{v_0^2}}{{4g}}\left( {1 — \cos 2\alpha } \right) \geqslant 5,\)  где  v0 = 20 м/с,  g = 10 м/с2  и  \(\alpha  \in \left( {0;{{90}^\circ }} \right).\)

\(\frac{{{{20}^2}}}{{4 \cdot 10}}\left( {1 — \cos 2\alpha } \right) \geqslant 5\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,1 — \cos 2\alpha  \geqslant \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\cos 2\alpha  \leqslant \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\mathop  \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < 2\alpha  < {{180}^\circ }} \)

\(\,\mathop  \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < 2\alpha  < {{180}^\circ }} \,\,\,\,\,{60^\circ } \leqslant 2\alpha  < {180^\circ }\,\,\,\,\,\mathop  \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < \alpha  < {{90}^\circ }} \,\,\,\,\,{30^\circ } \leqslant \alpha  < {90^\circ }.\)

Следовательно, наименьшее значение  \(\alpha  = {30^\circ }.\)

Ответ: 30.