Задача 6. Катер должен пересечь реку шириной \(L = 100\) м и со скоростью течения \(u = 0,5\) м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением \(t = \frac{L}{u}{\text{ctg}}\,\alpha \), где \(\alpha \) — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом \(\alpha \) (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?
Решение
Задача сводится к решению неравенства: \(\frac{L}{u}{\text{ctg}}\,\alpha \leqslant 200\), где L = 100 м, u = 0,5 м/с и \(\alpha \in \left( {0;{{90}^\circ }} \right).\)
\(\frac{{100}}{{0,5}} \cdot {\text{ctg}}\alpha \leqslant 200\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\text{ctg}}\alpha \leqslant 1\,\,\,\,\,\,\,\mathop \Leftrightarrow \limits_{{0^\circ } < \alpha < {{90}^\circ }} \,\,\,\,\,\,{45^\circ } \leqslant \alpha < {90^\circ }.\)
Следовательно, наименьшее значение \(\alpha = {45^\circ }.\)
Ответ: 45.