Задача 15. Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.

Ответ

ОТВЕТ: 25.

Решение

Пусть x км/ч – скорость третьего велосипедиста, а t ч – время, которое ему понадобилось, чтобы догнать второго велосипедиста. Тогда за время t ч третий проехал расстояние равное \(x \cdot t\) км, а второй выехал на 1 час раньше третьего, поэтому он проехал расстояние \(10\left( {t + 1} \right)\) км. Следовательно, первое уравнение будет иметь вид:  \(x \cdot t = 10\left( {t + 1} \right)\).

Теперь рассмотрим, как третий велосипедист догоняет первого. Третьему велосипедисту понадобилось t ч, чтобы догнать второго, а затем еще 2 часа 20 минут, чтобы догнать первого, то есть третий догонял первого \(t + \frac{7}{3}\) часа и проехал расстояние: \(x \cdot \left( {t + \frac{7}{3}} \right)\). Первый выехал на 2 часа раньше третьего, поэтому он проехал расстояние равное: \(15 \cdot \left( {t + \frac{7}{3} + 2} \right)\).

Следовательно, второе уравнение будет иметь вид:  \(x\left( {t + \frac{7}{3}} \right) = 15\left( {t + \frac{{13}}{3}} \right)\).

Таким образом, получаем систему уравнений:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x \cdot t = 10\left( {t + 1} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \\   {x \cdot \left( {t + \frac{7}{3}} \right) = 15\left( {t + \frac{{13}}{3}} \right).} \end{array}} \right.\)

Из первого уравнения: \(x = \frac{{10\left( {t + 1} \right)}}{t}\). Подставляя во второе первое, получим:

\(\frac{{10t + 10}}{t} \cdot \frac{{3t + 7}}{3} = 15t + 65\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,30{t^2} + 70t + 30t + 70 = 45{t^2} + 195t\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,15{t^2} + 95t — 70 = 0\,\,\left| {\,:} \right.5\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,3{t^2} + 19t — 14 = 0;\)

\(D = 361 + 168 = 529;\,\,\,\,{t_1}\, = \frac{{ — 19 + 23}}{6} = \frac{2}{3};\,\,\,\,{t_2} = \frac{{ — 19 — 23}}{6} =  — 7\)

Так как, \(t > 0\), то \(t = \frac{2}{3}\) часа. Следовательно, скорость третьего велосипедиста:  \(x = \frac{{10 \cdot \left( {\frac{2}{3} + 1} \right)}}{{\frac{2}{3}}} = 25\) км/ч.

\(\)Ответ: 25.