Задача 10. Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Ответ

ОТВЕТ: 8.

Решение

Пусть Игорь, Паша и Володя каждый покрасят забор за время \({t_1}\), \({t_2}\) и \({t_3}\) соответственно. Воспользуемся формулой: \(\dfrac{1}{{{t_1}}} + \dfrac{1}{{{t_2}}} = \dfrac{1}{{{t_{совм}}}}\) (смотри замечание к задаче 8). Тогда получим систему уравнений:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\dfrac{1}{{{t_1}}} + \dfrac{1}{{{t_2}}} = \dfrac{1}{9};} \\   {\dfrac{1}{{{t_2}}} + \dfrac{1}{{{t_3}}} = \dfrac{1}{{12}};} \\   {\dfrac{1}{{{t_1}}} + \dfrac{1}{{{t_3}}} = \dfrac{1}{{18.}}} \end{array}} \right.\)

Прибавим к первому уравнению второе и третье:

\(\dfrac{2}{{{t_1}}} + \dfrac{2}{{{t_2}}} + \dfrac{2}{{{t_3}}} = \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{{18}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{2}{{{t_1}}} + \dfrac{2}{{{t_2}}} + \dfrac{2}{{{t_3}}} = \dfrac{1}{4}\,\left| {\,:2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow } \right.\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{{t_1}}} + \dfrac{1}{{{t_2}}} + \dfrac{1}{{{t_3}}} = \dfrac{1}{8}.\)

Так как спрашивают, за сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем, то: \(\dfrac{1}{{{t_1}}} + \dfrac{1}{{{t_2}}} + \dfrac{1}{{{t_3}}} = \dfrac{1}{{{t_{совм}}}}\).

Следовательно: \(\dfrac{1}{{{t_{совм}}}} = \dfrac{1}{8}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{t_{совм}} = 8.\)

Ответ: 8.