Задача 8. Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?
ОТВЕТ: 4.
Первый мастер за 1 час выполняет \(\frac{1}{{12}}\) часть работы, а второй \(\frac{1}{6}\). Следовательно, работая вместе, два мастера выполняют \(\frac{1}{{12}} + \frac{1}{6} = \frac{1}{4}\) часть работы. Поэтому всю работу мастера выполнят за 4 часа.
Ответ: 4.
Замечание:
Выведем формулу для совместной работы двух рабочих. Пусть первый рабочий может выполнить работу А за время \({t_1}\), а второй за время \({t_2}\). Тогда производительность первого рабочего \({W_1} = \frac{A}{{{t_1}}}\), второго \({W_2} = \frac{A}{{{t_2}}}\). Следовательно, при совместной работе их общая производительность будет равна: \(\frac{A}{{{t_1}}} + \frac{A}{{{t_2}}}\).
Пусть \({t_{совм}}\) — время за которое будет выполнена работа А при совместной работе. Тогда \(\frac{A}{{{t_{совм}}}}\) будет общая производительность двух рабочих, которая равна \(\frac{A}{{{t_1}}} + \frac{A}{{{t_2}}}\), то есть: \(\frac{A}{{{t_1}}} + \frac{A}{{{t_2}}} = \frac{A}{{{t_{совм}}}}\).
Сократив на А, получим: \(\frac{1}{{{t_1}}} + \frac{1}{{{t_2}}} = \frac{1}{{{t_{совм}}}}\).
Если работа выполняется тремя субъектами за время \({t_1}\), \({t_2}\) и \({t_3}\) соответственно, то время совместного выполнения того же объёма работы равно: \(\frac{1}{{{t_1}}} + \frac{1}{{{t_2}}} + \frac{1}{{{t_3}}} = \frac{1}{{{t_{совм}}}}\).
Так как первый рабочий выполняет заказ за 12 часов, а второй за 6 часов, то \({t_1} = 12\), \({t_2} = 6\). Тогда:
\(\frac{1}{{12}} + \frac{1}{6} = \frac{1}{{{t_{совм}}}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{1}{4} = \frac{1}{{{t_{совм}}}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{t_{совм}} = 4\).