ЕГЭ профильный уровень. №9 Задачи на проценты, смеси и сплавы. Задача 13

ОТВЕТ: 60.

Пусть x кг масса 30-процентного раствора, а y кг масса 60-процентрого раствора кислоты.

Тогда масса кислоты в 30-процентном растворе \(\frac{{x \cdot 30}}{{100}}\) кг, в 60-процентном \(\frac{{y \cdot 60}}{{100}}\) кг, в воде \(\frac{{10 \cdot 0}}{{100}}\) кг, а в 36-процентном \(\frac{{\left( {x + y + 10} \right) \cdot 36}}{{100}}\). При этом масса кислоты в 36-процентноом растворе равна массе кислоты 30-процентного, 60-процентного и воды. Таким образом, первое уравнение будет иметь вид:

\(\frac{{x \cdot 30}}{{100}} + \frac{{y \cdot 60}}{{100}} + \frac{{10 \cdot 0}}{{100}} = \frac{{\left( {x + y + 10} \right) \cdot 36}}{{100}}\,\,\left| { \cdot 100} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,30x + 60y = 36\left( {x + y + 10} \right).\)

Рассмотрим случай, когда вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора кислоты.

Рассуждая аналогично, как и в первом случае, получим второе уравнение:

\(\frac{{x \cdot 30}}{{100}} + \frac{{y \cdot 60}}{{100}} + \frac{{10 \cdot 50}}{{100}} = \frac{{\left( {x + y + 10} \right) \cdot 41}}{{100}}\,\,\left| { \cdot 100} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,30x + 60y + 500 = 41\left( {x + y + 10} \right).\)

Таким образом, получаем систему уравнений:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {30x + 60y = 36\left( {x + y + 10} \right);} \\   {30x + 60y + 500 = 41\left( {x + y + 10} \right).} \end{array}} \right.\)

Вычтем из второго уравнения первое:

\(500 = 5\left( {x + y + 10} \right)\,\left| {:5} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,100 = x + y + 10\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,y = 90 — x.\)

Подставим выраженный  y  в первое уравнение:

\(30x + 60\left( {90 — x} \right) = 3600\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,30x — 60x = 3600 — 5400\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,30x = 1800\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 60.\)

Следовательно, для получения смеси использовали 60 кг 30-процентного раствора.

Ответ: 60.