Задача 14. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Будем считать, что первый сосуд содержит 30 кг x-процентного раствора кислоты, а второй 20 кг y-процентного раствора кислоты и их содержимое перелили в третий сосуд, в котором получилось 50 кг 68-процентного раствора кислоты.
Тогда масса кислоты в первом сосуде \(\frac{{30 \cdot x}}{{100}}\) кг, во втором \(\frac{{20 \cdot y}}{{100}}\) кг, а в третьем \(\frac{{50 \cdot 68}}{{100}}\) кг. При этом масса кислоты в третьем сосуде равна массе кислоты в первых двух сосудах. Таким образом, первое уравнение будет иметь вид:
\(\frac{{30 \cdot x}}{{100}} + \frac{{20 \cdot y}}{{100}} = \frac{{50 \cdot 68}}{{100}}\,\,\left| { \cdot 10} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,3x + 2y = 340.\)
Смешаем равные массы по m кг.
Рассуждая аналогично, как и в первом случае, получим второе уравнение:
\(\frac{{m \cdot x}}{{100}} + \frac{{m \cdot y}}{{100}} = \frac{{2m \cdot 70}}{{100}}\,\,\left| {\, \cdot 100} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,m \cdot x + m \cdot y = 140m\,\left| {\,:m} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x + y = 140.\)
Таким образом, получаем систему уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x + 2y = 340} \\ {x + y = 140} \end{array}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x + 2y = 340} \\ {y = 140 — x} \end{array}} \right.} \right.\)
\(3x + 2\left( {140 — x} \right) = 340\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,3x — 2x = 340 — 280\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = 60.\)
Следовательно, в первом сосуде содержится 60% кислоты, а масса этой кислоты равна \(\frac{{30 \cdot 60}}{{100}} = 18\) кг.
Ответ: 18.