Пусть в первый день турист прошёл а1 км, во второй – а2, …, в последний шестой день – а6 км. Сумма арифметической прогрессии: \({S_n} = \frac{{{a_1} + {a_n}}}{2} \cdot n.\) По условию задачи: \({a_1} = 10,\) а \({S_6} = 120.\) Тогда: \(120 = \frac{{10 + {a_6}}}{2} \cdot 6\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,10 + {a_6} = 40\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{a_6} = 30.\) Следовательно, в последний день турист прошёл 30 км. Чтобы определить, сколько километров турист прошёл за третий день, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: \({a_n} = {a_1} + d\left( {n — 1} \right),\) где d это разность арифметической прогрессии. В нашем случае это на сколько километров турист проходил в день больше чем в предыдущий день. Тогда: \({a_6} = {a_1} + 5d\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,30 = 10 + 5d\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,d = 4\) и \({a_3} = {a_1} + 2d = 10 + 2 \cdot 4 = 18.\) Следовательно, за третий день турист прошёл 18 км.
Ответ: 18.