Геометрия 10-11 класс. Угол между прямой и плоскостью

Скачать файл в формате pdf.

Геометрия 10-11 класс. Угол между прямой и плоскостью

Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой (АВ) и ее проекцией на данную плоскость (АС), т.е. синус этого угла α равен отношению противолежащего катета ВС к гипотенузе АВ. На практике нахождение этого угла чаще всего сводится к нахождению расстояния от точки до плоскости, т.е. к нахождению длины отрезка ВС. Очевидно, \({0^ \circ } < \alpha  < {90^ \circ }\). Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен \({90^ \circ }\). Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, то угол между ними считается равным нулю.

Нахождение угла между прямой и плоскостью координатным методом. Пусть \(\overrightarrow a \) — вектор лежащий на прямой (или параллельный ей), который еще называют направляющим вектором прямой, а вектор \(\vec n\) — это вектор перпендикулярный плоскости (нормальный вектор плоскости). Искомый угол — это угол α. Используя скалярное произведение находим косинус угла α:  \(\cos \,\beta  = \frac{{\overrightarrow a \,\overrightarrow n }}{{\left| {\,\overrightarrow a \,} \right| \cdot \left| {\,\overrightarrow n \,} \right|}}\).  Так как \(\beta  = {90^ \circ } — \alpha \), то последняя формула примет вид:     \(\sin \,\alpha  = \frac{{\left| {\,\overrightarrow a \,\,\overrightarrow n \,} \right|}}{{\left| {\,\overrightarrow a \,} \right| \cdot \left| {\,\overrightarrow n \,} \right|}}\).