Геометрия 10-11 класс. Площади сечений

При нахождении угла между двумя плоскостями можно использовать теорему о площади ортогональной проекции многоугольника. При применении этого метода угол φ между плоскостями α и β можно вычислить, используя формулу \(\cos \phi = \frac{{{S_{пр}}}}{S}\), где S — площадь многоугольника, лежащего в плоскости α, \({S_{пр}}\) — площадь его ортогональной проекции на плоскость β. Следовательно, площадь многоугольника, лежащего в плоскости α равна \(S = \frac{{{S_{пр}}}}{{\cos \varphi }}.\)

Задача 1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через две его диагонали.

Ответ

ОТВЕТ: \({a^2}\sqrt 2 \).

Задача 2. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через середины трёх рёбер, исходящих из одной вершины.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\).

Задача 3. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через вершину B₁ и середины рёбер AB и AD.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{9{a^2}}}{8}\).

Задача 4. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через диагональ AC₁ параллельно прямой BD.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{2}\).

Задача 5. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через середину ребра AB параллельно прямым BD и BC₁.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Задача 6. Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через середину ребра AD параллельно плоскости ABC.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\).

Задача 7. Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через вершину D и середины рёбер AB и BC.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{{16}}\).

Задача 8. Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через середину ребра AB параллельно рёбрам AC и BD.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{{a^2}}}{4}\).

Задача 9. Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через высоту DH тетраэдра параллельно ребру AC.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{9}\).

Задача 10. Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через центры граней ABC, ABD и BCD.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9}\).

Задача 11. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все рёбра пирамиды равны a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через середину ребра SA параллельно плоскости основания пирамиды.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{{a^2}}}{4}\).

Задача 12. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все рёбра пирамиды равны a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через диагональ BD основания и середину ребра SC.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\).

Задача 13. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все рёбра пирамиды равны a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через ребро AB и середину ребра SD.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{3{a^2}\sqrt {11} }}{{16}}\).

Задача 14. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все рёбра пирамиды равны a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через центр основания параллельно плоскости ASB.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{16}}\).

Задача 15. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все рёбра пирамиды равны a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через середину ребра SC и точку A параллельно диагонали BD основания.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{6}\).

Задача 16. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Все рёбра призмы равны a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через вершины A, B₁ и C.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{4}\).

Задача 17. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Все рёбра призмы равны a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через ребро BC и центр основания A₁B₁C₁.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{5{a^2}\sqrt {39} }}{{36}}\).

Задача 18. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Все рёбра призмы равны a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через центры граней ABC, AA₁B₁B и BB₁C₁C.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{{a^2}\sqrt {39} }}{{12}}\).

Задача 19. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Все рёбра призмы равны a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через прямую BC₁ параллельно медиане AM основания ABC.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}\).

Задача 20. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Все рёбра призмы равны a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через середину ребра BB₁ параллельно прямым BA₁ и B₁C₁.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{3{a^2}\sqrt 7 }}{{16}}\).

Задача 21. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. Все рёбра призмы равны a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через вершины A, B и C₁.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{3{a^2}\sqrt 7 }}{4}\).

Задача 22. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. Все рёбра призмы равны a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через вершины B, F и C₁.

Ответ

ОТВЕТ: \({a^2}\sqrt 6 \).

Задача 23. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. Все рёбра призмы равны a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через вершины A, B и D₁.

Ответ

ОТВЕТ: \(3\,{a^2}\).

Задача 24. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. Все рёбра призмы равны a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через центр основания ABCDEF параллельно прямым DE и AE₁.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{3\,{a^2}}}{2}\).

Задача 25. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. Все рёбра призмы равны a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через середины рёбер BC, EF и центр грани AA₁B₁B.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{{a^2}\sqrt {39} }}{4}\).

Задача 26. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Стороны основания пирамиды равны a, а боковые рёбра равны 2a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через вершину S и диагональ BD основания.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{{a^2}\sqrt {39} }}{4}\).

Задача 27. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Стороны основания пирамиды равны a, а боковые рёбра равны 2a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через середины рёбер AB и EF параллельно высоте пирамиды.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Задача 28. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Стороны основания пирамиды равны a, а боковые рёбра равны 2a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через вершину S и середины рёбер AB и AF.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{3{a^2}\sqrt {19} }}{{16}}\).

Задача 29. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Стороны основания пирамиды равны a, а боковые рёбра равны 2a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через точки A, D и середину ребра SE.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{5{a^2}\sqrt {15} }}{{16}}\).

Задача 30. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Стороны основания пирамиды равны a, а боковые рёбра равны 2a. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через ребро AB и середину ребра SD.

Ответ

ОТВЕТ: \(\frac{{13{a^2}\sqrt {39} }}{{48}}\).