Геометрия 10-11 класс. Шар
Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии от данной точки, не большем данного положительного числа. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара. Шаровой поверхностью или сферой шара называется множество всех точек пространства, находящихся на равном положительном расстоянии от некоторой точки. Эта точка называется центром сферы, а данное расстояние радиусом сферы. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром.
Площадь поверхности шара находится по формуле: \(S = 4\,\pi \,{R^2}\); объем шара находится по формуле: \(V = \frac{4}{3}\pi \,{R^3}\), где R – радиус шара.
Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Шаровой сегмент можно получить, вращая круговой сегмент вокруг диаметра, перпендикулярного его хорде.
Площадь сегментной поверхности находится по формуле: \(S = 2\,\pi \,R\,H\); объем шарового сегмента находится по формуле: \(V = \pi \,{H^2}\,\left( {\,R — \frac{H}{3}\,} \right)\), где H – высота сегмента; R – радиус шара.
Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то он дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется.
Объем шарового сектора находится по формуле: \(V = \frac{2}{3}\pi \,{R^2}H\); площадь полной поверхности шарового сектора складывается из площади сегментной поверхности и площади боковой поверхности конуса и находится по формуле:\({S_{{\text{шар}}{\text{.}}\;{\text{сект}}}} = {S_{{\text{шар}}{\text{.}}\;{\text{сегм}}}} + {S_{{\text{б}}{\text{.}}\;{\text{п}}{\text{.}}\;{\text{кон}}}} = 2\,\pi \,R\,H + \pi \,R\,\sqrt {\,2\,R\,H — {H^2}} \), где H – высота соответствующего шарового сегмента; R – радиус шара.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Из центра сферы с диаметром 25 провели два радиуса, угол между которыми 60°. Найдите расстояние между концами радиусов, лежащих на сфере.
|
Задача 2. Диаметр шара равен 20, расстояние от центра шара до его сечения равно 8. Найдите радиус данного шарового сечения.
|
Задача 3. В сечение шара вписан равносторонний треугольник со стороной 18. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 6. Найдите площадь поверхности шара, деленную на π.
|
Задача 4. Расстояние от концов диаметра шара до точки, лежащей на его поверхности равны 5 и 12. Найдите площадь поверхности шара, деленную на π.
|
Задача 5. Три шара с радиусами 1, 2 и 3 касаются друг друга. Найдите площадь треугольника, образованного центрами шаров сферы.
|
Задача 6. Сфера с радиусом 12,5 касается двух параллельных плоскостей. Найдите расстояние между плоскостями.
|
Задача 7. Расстояние от точки B до центра O сферы с радиусом 12 равно 13. Найдите расстояние от данной точки до точки A касания прямой BA и сферы.
|
Задача 8. Сфера с радиусом \(5\sqrt 2 \) касается двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от центра сферы до линии пересечения плоскостей.
|
Задача 9. Сфера касается сторон двугранного угла, равного 60°. Расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно 10. Найдите площадь поверхности шара, деленную на π.
|
Задача 10. На расстояние 6 от центра шара проведена плоскость. Площадь полученного сечения равна 64π. Найдите площадь поверхности шара, деленную на π.
|
Задача 11. Площадь поверхности шара 64. На расстоянии \(\frac{3}{{2\sqrt \pi }}\) от центра шара проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.
|
Задача 12. Площадь поверхности шара равна \(\frac{{37}}{\pi }\). На расстоянии \(\frac{1}{{2\pi }}\) от центра шара проведена плоскость. Найдите длину полученной в сечении окружности.
|
Задача 13. Дан шар радиуса \(\frac{{12}}{{\sqrt \pi }}\). Через конец радиуса проведена плоскость под углом 30° к нему. Найдите площадь сечения.
|
Задача 14. По одну сторону от центра шара с радиусом 10 проведены два параллельных сечения с радиусами 6 и 8. Найдите расстояние между сечениями.
|
Задача 15. По разные стороны от центра шара с радиусом 13 проведены два параллельных сечения с радиусами 5 и 12. Найдите расстояние между сечениями.
|
Задача 16. На расстоянии 7 и 15 от центра шара проведены две параллельные плоскости, радиусы которых относятся как 6 : 5. Найдите радиус шара.
|
Задача 17. По разные стороны от центра шара проведены два параллельных сечения с площадью 9π и 16π. Расстояние между сечениями равно 7. Найдите площадь поверхности шара, деленную на π.
|
Задача 18. На расстояниях 6 и 8 от центра шара проведены два взаимно перпендикулярных сечения. Общая хорда сечений равна 12. Найдите площадь поверхности шара, деленную на π.
|
Задача 19. На расстояниях 2 и 3 от центра шара с радиусом \(\sqrt {29} \) проведены два взаимно перпендикулярных сечения. Найдите длину общей хорды сечения.
|
Задача 20. Вершины треугольника ABC лежат на сфере, AB = BC = 8, AC = 9,6. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно 12. Найдите радиус сферы.
|
Задача 21. Все стороны прямоугольного треугольника ABC (∠В = 90°) касаются сферы радиуса 5. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если AB = 9, BC = 12.
|
Задача 22. В шар вписан конус, осевое сечение которого остроугольный треугольник. Найдите высоту конуса, если радиус шара 5, а радиус основания конуса 4.
|
Задача 23. В шар вписан конус, образующая которого равна диаметру основания. Найдите отношение площади полной поверхности этого конуса к площади поверхности шара.
|