Скачать файл в формате pdf.


Геометрия 7-9 класс. Скалярное произведение векторов

Задача 1. В квадрате ABCD найдите угол между векторами \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {AC} .\) Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 45.

Задача 2. В квадрате ABCD найдите угол между векторами \(\overrightarrow {BD} \) и \(\overrightarrow {DC} .\) Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 135.

Задача 3. Дан правильный треугольник АВС со сторонами 8. Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} .\)

Ответ

ОТВЕТ: 32.

Задача 4. В треугольнике АВС \(AB = 3\sqrt 2 ,\,\,\,\,\,AC = 3,\,\) \(\angle \,A = {45^ \circ }.\) Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} .\)

Ответ

ОТВЕТ: 9.

Задача 5. Вычислите скалярное произведение векторов \(\vec a\,\left( {3;\, — 2} \right)\) и \(\vec b\,\left( { — 2;\,4} \right).\)

Ответ

ОТВЕТ: — 14.

Задача 6. Вычислите скалярное произведение векторов \(\vec a\,\left( { — 4;\, — 5} \right)\) и \(\vec b\,\left( { — 5;\,2} \right).\)

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Задача 7. При каком значении x векторы \(\vec a\,\left( {x;\, — 3} \right)\) и \(\vec b\,\left( {4;\,8} \right)\) перпендикулярны?

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Задача 8. При каком значении y векторы \(\vec a\,\left( {7;\,5} \right)\) и \(\vec b\,\left( {4;\,y} \right)\) перпендикулярны?

Ответ

ОТВЕТ: — 5,6.

Задача 9. Найдите косинус угла между векторами \(\vec a\,\left( {3;\, — 4} \right)\) и \(\vec b\,\left( {4;\, — 3} \right).\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,96.

Задача 10. Найдите косинус угла между векторами \(\vec a\,\left( {2;\, — 2} \right)\) и \(\vec b\,\left( { — 3;\,3} \right).\)

Ответ

ОТВЕТ: — 1.

Задача 11. В треугольнике с вершинами в точках \(A\left( { — 4;\,8} \right),\,\,B\left( {2;\,14} \right)\) и \(C\left( {4;\,0} \right)\) найдите косинус угла С.

Ответ

ОТВЕТ: 0,8.

Задача 12. В треугольнике с вершинами в точках \(A\left( {2;\,8} \right),\,\,B\left( { — 1;\,5} \right)\) и \(C\left( {3;\,1} \right)\) найдите косинус угла А.

Ответ

ОТВЕТ: 0,6.

Задача 13. В треугольнике с вершинами в точках \(A\left( {2;\,4} \right),\,\,B\left( {2;\,8} \right)\) и \(C\left( {6;\,4} \right)\) найдите угол А. Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 90.

Задача 14. В треугольнике с вершинами в точках \(A\left( { — 1;\,\sqrt 3 } \right),\,\,B\left( {1;\, — \sqrt 3 } \right)\) и \(C\left( {0,5;\,\sqrt 3 } \right)\) найдите угол А. Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 60.

Задача 15. В трапеции ABCD с основаниями AD = 8 и BC = 3 найдите скалярное произведение \(\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {CB} .\)

Ответ

ОТВЕТ: — 24.

Задача 16. В четырёхугольнике с вершинами в точках \(A\left( {3;\,3} \right),\,\,B\left( {1;\,5} \right),\)  \(C\left( {4,5;\,5,5} \right)\) и \(D\left( {6;\,2} \right)\) найдите угол между диагоналями. Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 90.

Задача 17. В треугольнике АВС скалярное произведение векторов \(\overrightarrow {BA} \) и \(\overrightarrow {BC} \) равно 8, а угол между ними \({45^ \circ }.\) Найдите площадь треугольника АВС.

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Задача 18. В параллелограмме АВСD скалярное произведение векторов \(\overrightarrow {AB} \) и \(\overrightarrow {AD} \) равно \(5\sqrt 3 ,\) а угол между ними \({30^ \circ }.\) Найдите площадь параллелограмма АВСD.

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Задача 19.
Вычислите \(\left| {\,\vec a + \vec b\,} \right|\) и \(\left| {\,\vec a — \vec b\,} \right|\), если \(\left| {\,\vec a\,} \right| = 3,\,\,\,\left| {\,\vec b\,} \right| = 4\) и угол между векторами \(\vec a\,\) и \(\vec b\) равен \({60^ \circ }.\)
Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt {37} \) и \(\sqrt {13} .\)

Задача 20. Вычислите скалярное произведение векторов \(\vec a\) и \(\vec b\), если \(\vec a = 5\vec p + 3\vec q\) и \(\vec b = 2\vec p — 4\vec q\), где \(\vec p\) и \(\vec q\) – единичные вектора угол между которыми равен \({60^ \circ }.\)

Ответ

ОТВЕТ: — 9.