Геометрия 7-9 класс. Правильные многоугольники

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEF: внутренние углы правильного шестиугольника равны \({120^ \circ }\), поэтому диагонали AD, BE и CF разбивают шестиугольник на 6 равных равносторонних треугольников. Площадь шестиугольника равна площади одного из этих треугольников умноженная на 6. Диагонали AD, BE и CF в два раза больше стороны шестиугольника. Диагональ AC перпендикулярна сторонам CD и AF, поэтому ее можно найти по теореме

Пифагора из \(\Delta \,ACD\) или \(\Delta \,ACF\). Радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника, а радиус вписанной окружности половине диагонали AC.

Задача 1. Найдите количество сторон правильного многоугольника.

Ответ

ОТВЕТ: 18.

Задача 2. Найдите количество сторон правильного многоугольника.

Ответ

ОТВЕТ: 12.

Задача 3. Найдите количество сторон правильного многоугольника.

Ответ

ОТВЕТ: 9.

Задача 4. Найдите количество сторон правильного многоугольника.

Ответ

ОТВЕТ: 10.

Задача 5. Дан правильный многоугольник: \(a + b = 20.\) Найдите периметр многоугольника.

Ответ

ОТВЕТ: 70.

Задача 6. Дан правильный многоугольник: \({\rm{\alpha }} + {\rm{\beta }} + {\rm{\gamma }} = {420^ \circ }.\) Найдите сумму всех углов многоугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ:1260 .

Задача 7. Дан правильный n-угольник с суммой внутренних углов, равной \({1080^ \circ }.\) Найдите n.

Ответ

ОТВЕТ: 8.

Задача 8. Дан правильный пятиугольник. Найдите \({\rm{\alpha }} — {\rm{\beta }}.\)

Ответ

ОТВЕТ: 36.

Задача 9. Найдите периметр правильного n-угольника.

Ответ

ОТВЕТ: 135.

Задача 10. Периметр правильного n-угольника равен 66. Найдите длину его стороны.

Ответ

ОТВЕТ: 11.

Задача 11. Найдите площадь правильного многоугольника, если площадь его закрашенной части равна 20.

Ответ

ОТВЕТ: 70.

Задача 12. Найдите площадь правильного многоугольника, если площадь его не закрашенной части равна 30.

Ответ

ОТВЕТ: 48.

Задача 13. Дан правильный пятиугольник ABCDE. Найдите угол \(\angle \,EAC.\) Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 72.

Задача 14. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Найдите угол \(\angle \,ACE.\) Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 60.

Задача 15. Найдите площадь правильного шестиугольника ABCDEF, если площадь треугольника ACD равна 18.

Ответ

ОТВЕТ: 54.

Задача 16. Найдите периметр правильного шестиугольника ABCDEF, если площадь пятиугольника ABCDE равна \(80\sqrt 3 .\)

Ответ

ОТВЕТ: 48.

Задача 17. Найдите площадь правильного восьмиугольника ABCDEFGH, если площадь четырёхугольника ABEF равна 15.

Ответ

ОТВЕТ: 30.

Задача 18. Найдите площадь правильного восьмиугольника ABCDEFGH, если площадь четырёхугольника ABCD равна 12.

Ответ

ОТВЕТ: 48.