Геометрия 7-9 класс. Свойства равнобедренного треугольника
Основные свойства и признаки равнобедренного треугольника
- Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
- Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
- В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают.
- Если в треугольнике совпадает любая пара отрезков из тройки: медиана, биссектриса, высота, то он является равнобедренным.
| Задача 1. Известно, что AC = CB, AC = 2 AB, периметр треугольника ABC равен 30. Найдите длину отрезка BC.
|
 |
| Задача 2. Известно, что \(\angle \,KMN = \angle \,KNM,\,\,\,KN — MN = 8,\) периметр треугольника KMN равен 31. Найдите длину отрезка MN.
|
 |
| Задача 3. Известно, что AC = BC, AB = 3,5, периметр треугольника ABC равен 17,3. Найдите длину отрезка CB.
|
|
| Задача 4. Известно, что AC = CB, AC = 2,6 AB, периметр треугольника ABC равен 31. Найдите длину отрезка BC.
|
|
| Задача 5. Известно, что \(\angle \,KMN = \angle \,KNM,\) MK : MN = 5 : 2, периметр треугольника KMN равен 30. Найдите длину отрезка MK.
|
|
| Задача 6. Известно, что \(\angle \,KMN = \angle \,KNM,\,\,\,KN — MN = 8,\) MN = 4,6. Найдите периметр треугольника KMN.
|
|
| Задача 7. Известно, что \(\angle \,KMN = \angle \,KNM,\,\,\,KN + NR = 7,5.\) Найдите периметр треугольника KMN.
|
 |
| Задача 8. Известно, что \(\angle \,KMN = \angle \,KNM,\,\,\,KN + NR + RK = 35.\) Периметр треугольника KMN равен 50. Найдите длину отрезка KR.
|
|
| Задача 9. Известно, что AC = BC, AB = 10, \({P_{ACD}} — {P_{ABD}} = 3.\) Найдите длину отрезка BC.
|
 |
| Задача 10. Известно, что AC = BC, AB = 10, \({P_{ABD}} — {P_{ACD}} = 4.\) Найдите длину отрезка BC.
|
|
| Задача 11. Известно, что AC = BC = 10, \({P_{ACD}} — {P_{ABD}} = 3.\) Найдите длину отрезка AB.
|
|
| Задача 12. Известно, что AC = BC = 13, \({P_{ABD}} — {P_{ACD}} = 2.\) Найдите длину отрезка AB.
|
|
| Задача 13. Известно, что AC = BC, \(\angle \,C = {32^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,CBA.\) Ответ дайте в градусах.
|
|
| Задача 14. Известно, что BD = BA, \(\angle \,BAD = {61^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,CBA.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 15. Известно, что BM = BN, \(\angle \,BMN = {65^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,CBA.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 16. Известно, что BD = BC, AD = AC, \(\angle \,BDA = {37^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,CBA.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 17. Известно, что BD = BC, AD = AC. Найдите \(\angle \,ABD.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 18. Известно, что AB = BC, \(\angle \,BCD = {115^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,CBA.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 19. Известно, что ED = EB, BA – биссектриса\(\angle \,CBE,\) \(\angle \,EDB = {58^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,ABE.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 20. Известно, что MC = BC = MA, NC = NA, \(\angle \,CMN = {52^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,BCA.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 21. Известно, что AC = DC = AB, AE = DE, \(\angle \,DCE = {26^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,CBA.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 22. Известно, что BC = AB, AO = OC, OK – биссектриса \(\angle \,BOC.\) Найдите \(\angle \,AOK.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 23. Известно, что AD = DC, \(\angle \,ADB = \angle \,CDB.\) Докажите, что \(\angle \,BCA = \angle \,BAC\) и \(BD \bot AC.\) |  |
| Задача 24. Известно, что AD = DC, \(\angle \,ADM = \angle \,CDM.\) Докажите, что и AM = MC. |  |
| Задача 25. Известно, что AB = BC, AE = CF. Докажите, что \(\angle \,AEC = \angle \,CFA.\) |  |
| Задача 26. В треугольнике ABC на продолжении стороны BC за точку C отложен отрезок CD, равный CA, точки A и D соединены отрезком, CE – биссектриса треугольника ACB, а CF – медиана треугольника ACD. Докажите, что \(CF \bot CE.\) | |
| Задача 27. Известно, что AE = EC, BE = ED. Докажите, что \(\angle \,ACD = \angle \,CAB.\) |  |
| Задача 28. В треугольнике AB = BC = CA. На его сторонах взяты тоски D, E и F так, что AD : DB = BE : EC = CF : FA = 1 : 4. Докажите, что треугольник DEF равносторонний. | |
| Задача 29. Известно, что треугольник ABC равносторонний, AM = AB, CN = AC, BK = BC. Докажите, что треугольник MNK – равносторонний. |  |
| Задача 30. Известно, что AB = BC, BF = BE, AM = MC. Докажите, что треугольник FME – равнобедренный. |  |
| Задача 31. Известно, что \(\angle \,BAC = \angle \,TFD,\) \(\angle \,ADT = \angle \,FCB,\) AD = FC, \(\angle \,FTD = {90^\circ }.\) Докажите, что \(\angle \,ABC = {90^\circ }.\) |  |