Геометрия 7-9 класс. Сумма углов треугольника
Теорема о сумме углов треугольника и следствия из неё
- Сумма внутренних углов треугольника равна \({180^ \circ }.\)
- Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов.
- Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна \({180^ \circ }\left( {n — 2} \right).\)
- Сумма внешних углов n-угольника равна \({360^ \circ }.\)
- Угол между биссектрисами смежных углов равен \({90^ \circ }.\)
- Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.
| Задача 1. Известно, что \(\angle \,A = {32^ \circ },\,\,\,\,\angle \,C = {44^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,B.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 2. Известно, что AB = AC, \(\angle \,B = {62^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,A.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 3. Известно, что \(\angle \,A = {71^ \circ },\,\,\,\angle \,C = {38^ \circ },\) BC = 9,6. Найдите AC.
|
 |
| Задача 4. Известно, что \(\angle \,M = {22^ \circ },\,\,\,\angle \,K = {79^ \circ },\) MN = 12,6. Найдите MK.
|
 |
| Задача 5. Известно, что \(\angle \,A = {48^ \circ },\,\,\,\,\,\angle \,BCD = {121^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,ABE.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 6. Известно, что \(\angle \,M:\angle \,K:\angle \,N = 1:2:2.\) Найдите \(\angle \,K.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 7. Известно, что \(\angle \,B = {35^ \circ },\,\,\,\,\,\angle \,A:\angle \,C = 2:3.\) Найдите \(\angle \,C.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 8. Известно, что \(\angle \,M = 2\angle \,K,\,\,\,\,\,\angle \,M — \angle \,N = {20^\circ }.\) Найдите \(\angle \,N.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 9. Известно, что \(\angle \,C = {90^\circ },\,\,\,\,\,\angle \,A:\angle \,B = 4:5,\) AK – биссектриса. Найдите \(\angle \,AKC.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 10. Известно, что \(\angle \,C = {90^\circ },\,\,\,\,\,\angle \,A = \frac{2}{3}\angle \,B,\) BE – биссектриса. Найдите \(\angle \,BEA.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 11. Известно, что \(\angle \,C = {54^\circ },\) BM – высота, AM = MC. Найдите \(\angle \,ABM.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 12. Известно, что \(\angle \,MQL = 0,4\,\angle \,QLM,\) \(\angle \,PQM = {140^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,QML.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 13. Известно, что \(\angle \,QPK = 3,5\,\angle \,QPM,\) \(\angle \,M:\angle Q = 3:4.\) Найдите \(\angle \,Q.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 14. Известно, что \(\angle \,B = 2\,\angle \,C,\) AD – биссектриса \(\angle \,BAC,\) AD = DC. Найдите \(\angle \,ADC.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 15. Известно, что \(\angle \,NKP = {112^ \circ },\) NK – биссектриса \(\angle \,MNP,\) NK = KP. Найдите \(\angle \,NMK.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 16. Известно, что \(\angle \,TSR:\angle RSP = 3:5,\) \(\angle \,RTS = {115^ \circ },\,\,\,\,RO \bot PS,\) PO = SO. Найдите \(\angle \,PRO.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 17. Известно, что \(\angle \,APM = {60^ \circ },\,\,\,\,\,\,\angle AMP = {50^ \circ },\) PK и MN – биссектрисы. Найдите \(\angle \,OKM.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 18. Известно, что \(\angle \,ABE = {28^ \circ },\,\,\,\,\,\,\,\angle ACD = {15^ \circ },\) \(\angle DFE = {82^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,A.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 19. Дан треугольник ABC. Найдите \({\rm{\alpha }} + {\rm{\beta }} + {\rm{\gamma }}.\) (см. рисунок). Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 20. В треугольнике ABC проведена медиана CK. Найдите \(\angle \,A,\) если \(CK = \frac{4}{5},\,\,\,\,AB = 1\frac{3}{5},\,\,\,\,\angle \,B = {37^ \circ }.\) Ответ дайте в градусах.
|
|
| Задача 21. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите \(\angle \,C,\) если \(BM = \frac{2}{3},\,\,\,\,AC = 1\frac{1}{3},\,\,\,\,\angle \,A = {58^ \circ }.\) Ответ дайте в градусах.
|
|
| Задача 22. Дан треугольник ABC. Известно, что медиана BD равна отрезкам AD и DC. Найдите \(\angle \,ABC.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 23. Известно, что \(\angle \,POM = {125^ \circ },\) PK и MN – биссектрисы. Найдите \(\angle \,PAM.\) Ответ дайте в градусах.
|
 |
| Задача 24. На сторонах угла A, равного \({135^ \circ },\) отмечены точки B и C, а внутри угла – точка D так, что \(\angle \,ABD = {23^ \circ },\,\,\,\,\angle \,ACD = {15^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,BDC.\) Ответ дайте в градусах.
|
|
| Задача 25. Треугольники ABC и DAC имеют общую сторону AC. Отрезок BD пересекает отрезок AC. Известно, что BD = AD = CD, \(\angle \,ABC = {132^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,ADC.\) Ответ дайте в градусах.
|
|
| Задача 26. Известно, что высоты треугольника ABC с углами \(\angle \,A = {40^ \circ },\,\,\,\angle \,C = {80^ \circ }\) пересекаются в точке H. Найдите \(\angle \,AHB.\) Ответ дайте в градусах.
|
|
| Задача 27. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АВ провели биссектрису АК. Известно, что \(\angle \,AKB = {75^ \circ }.\) Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
|
|