Скачать файл в формате pdf.


Геометрия 7-9 класс. Сумма углов треугольника

Теорема о сумме углов треугольника и следствия из неё

  • Сумма внутренних углов треугольника равна \({180^ \circ }.\)
  • Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов.
  • Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна \({180^ \circ }\left( {n — 2} \right).\)
  • Сумма внешних углов n-угольника равна \({360^ \circ }.\)
  • Угол между биссектрисами смежных углов равен \({90^ \circ }.\)
  • Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.
Задача 1. Известно, что \(\angle \,A = {32^ \circ },\,\,\,\,\angle \,C = {44^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,B.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 104.

Задача 2. Известно, что AB = AC,  \(\angle \,B = {62^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,A.\) Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 56.

Задача 3. Известно, что \(\angle \,A = {71^ \circ },\,\,\,\angle \,C = {38^ \circ },\) BC = 9,6. Найдите AC.  

Ответ

ОТВЕТ: 9,6.

Задача 4. Известно, что \(\angle \,M = {22^ \circ },\,\,\,\angle \,K = {79^ \circ },\) MN = 12,6. Найдите MK.

Ответ

ОТВЕТ: 12,6.

Задача 5. Известно, что \(\angle \,A = {48^ \circ },\,\,\,\,\,\angle \,BCD = {121^ \circ }.\)  Найдите \(\angle \,ABE.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 107.

Задача 6. Известно, что \(\angle \,M:\angle \,K:\angle \,N = 1:2:2.\)  Найдите \(\angle \,K.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 72.

Задача 7. Известно, что \(\angle \,B = {35^ \circ },\,\,\,\,\,\angle \,A:\angle \,C = 2:3.\)  Найдите \(\angle \,C.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 87.

Задача 8. Известно, что \(\angle \,M = 2\angle \,K,\,\,\,\,\,\angle \,M — \angle \,N = {20^\circ }.\)  Найдите \(\angle \,N.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 60.

Задача 9. Известно, что \(\angle \,C = {90^\circ },\,\,\,\,\,\angle \,A:\angle \,B = 4:5,\) AK – биссектриса. Найдите \(\angle \,AKC.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 70.

Задача 10. Известно, что \(\angle \,C = {90^\circ },\,\,\,\,\,\angle \,A = \frac{2}{3}\angle \,B,\) BE – биссектриса. Найдите \(\angle \,BEA.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 117.

Задача 11. Известно, что  \(\angle \,C = {54^\circ },\)  BM – высота,  AM = MC.  Найдите  \(\angle \,ABM.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 36.

Задача 12. Известно, что  \(\angle \,MQL = 0,4\,\angle \,QLM,\) \(\angle \,PQM = {140^ \circ }.\)  Найдите  \(\angle \,QML.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 40.

Задача 13. Известно, что  \(\angle \,QPK = 3,5\,\angle \,QPM,\) \(\angle \,M:\angle Q = 3:4.\)  Найдите  \(\angle \,Q.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 80.

Задача 14. Известно, что  \(\angle \,B = 2\,\angle \,C,\) AD – биссектриса \(\angle \,BAC,\) AD = DC.  Найдите  \(\angle \,ADC.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 108.

Задача 15. Известно, что \(\angle \,NKP = {112^ \circ },\) NK – биссектриса \(\angle \,MNP,\) NK = KP.  Найдите  \(\angle \,NMK.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 78.

Задача 16. Известно, что \(\angle \,TSR:\angle RSP = 3:5,\)  \(\angle \,RTS = {115^ \circ },\,\,\,\,RO \bot PS,\) PO = SO. Найдите  \(\angle \,PRO.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 65.

Задача 17. Известно, что \(\angle \,APM = {60^ \circ },\,\,\,\,\,\,\angle AMP = {50^ \circ },\)   PK и MN – биссектрисы. Найдите  \(\angle \,OKM.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 100.

Задача 18. Известно, что \(\angle \,ABE = {28^ \circ },\,\,\,\,\,\,\,\angle ACD = {15^ \circ },\) \(\angle DFE = {82^ \circ }.\)  Найдите  \(\angle \,A.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 39.

Задача 19. Дан треугольник ABC. Найдите  \({\rm{\alpha }} + {\rm{\beta }} + {\rm{\gamma }}.\) (см. рисунок). Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 360.

Задача 20. В треугольнике ABC проведена медиана CK. Найдите \(\angle \,A,\) если \(CK = \frac{4}{5},\,\,\,\,AB = 1\frac{3}{5},\,\,\,\,\angle \,B = {37^ \circ }.\) Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 53.

Задача 21. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите \(\angle \,C,\) если \(BM = \frac{2}{3},\,\,\,\,AC = 1\frac{1}{3},\,\,\,\,\angle \,A = {58^ \circ }.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 32.

Задача 22. Дан треугольник ABC. Известно, что медиана BD равна отрезкам AD и DC. Найдите \(\angle \,ABC.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 90.

Задача 23. Известно, что  \(\angle \,POM = {125^ \circ },\)  PK и MN – биссектрисы. Найдите  \(\angle \,PAM.\) Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 70.

Задача 24. На сторонах угла A, равного \({135^ \circ },\) отмечены точки B и C,  а внутри угла – точка D так, что  \(\angle \,ABD = {23^ \circ },\,\,\,\,\angle \,ACD = {15^ \circ }.\)  Найдите  \(\angle \,BDC.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 173.

Задача 25. Треугольники ABC и DAC имеют общую сторону AC. Отрезок BD пересекает отрезок AC. Известно, что BD = AD = CD, \(\angle \,ABC = {132^ \circ }.\)  Найдите  \(\angle \,ADC.\) Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 96.

Задача 26. Известно, что высоты треугольника ABC с углами \(\angle \,A = {40^ \circ },\,\,\,\angle \,C = {80^ \circ }\) пересекаются в точке H. Найдите \(\angle \,AHB.\) Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 100.

Задача 27. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АВ провели биссектрису АК. Известно, что \(\angle \,AKB = {75^ \circ }.\) Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 40.