Геометрия 7-9 класс. Свойства параллелограмма
Параллелограмм. Параллелограммом называется четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Свойства и признаки параллелограмма
- Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.
- Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
- Противоположные углы параллелограмма попарно равны.
- Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
- Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник ̶ параллелограмм.
- Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник ̶ параллелограмм.
- Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник ̶ параллелограмм.
| Задача 1. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB = 7, BC = 3.
|
| Задача 2. Найдите периметр параллелограмма KLRS, если KL = 5, \(\angle \,K = {60^ \circ },\) \(LE \bot KS,\) SE = 3.
|
| Задача 3. Найдите периметр параллелограмма KMNR, если MN = 10, \(\angle \,MRN = {30^ \circ },\) \(ND \bot MR,\) ND = 4.
|
| Задача 4. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB = 12, CE – биссектриса угла C, пересекающая сторону AD в точке E, AE = 4.
|
| Задача 5. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AK – биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке K, BK = 5, KC = 3.
|
| Задача 6. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если \(\angle \,A = {60^ \circ },\) BD = 10, BC = CD.
|
| Задача 7. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если \(\angle \,B = {120^ \circ },\) O – середина AC, DO – высота треугольника ADC, OD = 3,5.
|
| Задача 8. В параллелограмме ABCD \(\angle \,ABD = {43^ \circ },\,\,\,\angle \,DBC = {67^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,C.\) Ответ дайте в градусах.
|
| Задача 9. В параллелограмме ABCD на стороне BC выбрана точке E так, что CE = CD, \(\angle \,ADE = {61^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,A.\) Ответ дайте в градусах.
|
| Задача 10. В параллелограмме ABCD \(\angle \,A + \angle \,C = {142^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,B.\) Ответ дайте в градусах.
|
| Задача 11. В параллелограмме ABCD \(\angle \,A — \angle \,B = {26^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,C.\) Ответ дайте в градусах.
|
| Задача 12. В параллелограмме ABCD \(\angle \,A:\angle \,B = 4:5.\) Найдите \(\angle \,D.\) Ответ дайте в градусах.
|
| Задача 13. В параллелограмме ABCD \(\angle \,BAC = {30^ \circ },\,\,\,\,\angle \,CAD = {72^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,D.\) Ответ дайте в градусах.
|
| Задача 14. В прямоугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, \(\angle \,AOB = {40^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,ACB.\) Ответ дайте в градусах.
|
| Задача 15. Дан ромб ABCD в котором AB = BD. Найдите \(\angle \,BAC + \angle \,BDC.\) Ответ дайте в градусах.
|
| Задача 16. Дан квадрат ABCD и равносторонний треугольник ABO так, что точка O находится внутри квадрата. Найдите \(\angle \,BOC.\) Ответ дайте в градусах.
|
| Задача 17. Дан квадрат ABCD и равносторонний треугольник ABO так, что точка O находится вне квадрата. Найдите \(\angle \,BOC.\) Ответ дайте в градусах.
|
| Задача 18. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите \(\angle \,AKB.\)
|
| Задача 19. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, AC = 10, BD = 20, AB = 12. Найдите периметр треугольника OCD.
|
| Задача 20. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Периметры треугольников COB и COD равны 28 и 25 соответственно, BD = 12, AC = 18. Найдите периметр параллелограмма.
|
| Задача 21. В параллелограмме ABCD биссектриса \(\angle \,B\) пересекает сторону AD в точке K, \(\angle \,ABK = {60^ \circ },\) BK = 8, KD = 3. Найдите периметр четырехугольника BCDK.
|
|
| Задача 22. Дан ромб ABCD, BD = 8, \(\angle \,BDA = {60^ \circ }.\) Найдите периметр ромба.
|
|
| Задача 23. Дан квадрат ABCD расстояние, от точки пересечения диагоналей которого до его сторон равно 5. Найдите периметр квадрата.
|
|
| Задача 24. Дан прямоугольник ABCD расстояние, от точки пересечения диагоналей которого до сторон BC и CD равно 1 и 3 соответственно. Найдите периметр прямоугольника.
|
|
| Задача 25. В параллелограмме ABCD на сторону CD опущена высота BK, \(\angle \,A = {60^ \circ },\) AB = 6, CK = 1. Найдите периметр параллелограмма.
|
|
| Задача 26. В параллелограмме ABCD на сторону AD опущена высота CK, \(\angle \,A = {120^ \circ },\) BC = 8, AK = 6. Найдите периметр параллелограмма.
|
|
| Задача 27. В параллелограмме ABCD AK и DM биссектрисы (см. рис.), AD = 14, DC = 10. Найдите MK.
|
 |
| Задача 28. В параллелограмме ABCD CK и BM биссектрисы (см. рис.), AD = 22, DC = 7. Найдите MK.
|
 |
| Задача 29. Дан прямоугольник ABCD, \(BK \bot AC,\) AK : KC = 1 : 3, CD = 10. Найдите диагональ BD.
|
 |
| Задача 30. Дан прямоугольник ABCD диагонали которого пересекаются в точке O, AK – биссектриса \(\angle \,BAO,\) BK : OD = 1 : 2, CO = 5. Найдите сторону СD.
|
 |
| Задача 31. В треугольнике ABC известно, что AB = 14, \(\angle \,A = {20^ \circ },\) \(\angle \,C = {80^ \circ },\) \(KD\parallel AC,\) \(DM\parallel AB.\) Найдите периметр четырехугольника AKDM.
|
 |
| Задача 32. Точки M и K являются соответственно серединами сторон AB и BC треугольника ABC. Через вершину C проведена прямая, параллельная AB и пересекающая луч MK в точке E. Докажите, что KE равен половине AC. | |