Скачать файл в формате pdf.


Геометрия 7-9 класс. Свойства параллелограмма

Параллелограмм. Параллелограммом называется четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойства и признаки параллелограмма

  • Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.
  • Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
  • Противоположные углы параллелограмма попарно равны.
  • Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
  • Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник ̶  параллелограмм.
  • Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник ̶  параллелограмм.
  • Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник ̶  параллелограмм.
Задача 1. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если  AB = 7,  BC = 3.

Ответ

ОТВЕТ: 20.

Задача 2. Найдите периметр параллелограмма KLRS, если  KL = 5,  \(\angle \,K = {60^ \circ },\) \(LE \bot KS,\)  SE = 3.

Ответ

ОТВЕТ: 21.

Задача 3. Найдите периметр параллелограмма KMNR, если  MN = 10,  \(\angle \,MRN = {30^ \circ },\) \(ND \bot MR,\)  ND = 4.

Ответ

ОТВЕТ: 36.

Задача 4. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если  AB = 12, CE – биссектриса угла C, пересекающая сторону AD  в точке E,  AE = 4.

Ответ

ОТВЕТ: 56.

Задача 5. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если  AK – биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке K,  BK = 5,  KC = 3.

Ответ

ОТВЕТ: 26.

Задача 6. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если \(\angle \,A = {60^ \circ },\) BD = 10, BC = CD.

Ответ

ОТВЕТ: 40.

Задача 7. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если \(\angle \,B = {120^ \circ },\) O – середина ACDO – высота треугольника ADC,  OD = 3,5.

Ответ

ОТВЕТ: 28.

Задача 8. В параллелограмме ABCD \(\angle \,ABD = {43^ \circ },\,\,\,\angle \,DBC = {67^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,C.\) Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 70.

Задача 9. В параллелограмме ABCD на стороне BC выбрана точке E так, что CE = CD\(\angle \,ADE = {61^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,A.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 58.

Задача 10. В параллелограмме ABCD \(\angle \,A + \angle \,C = {142^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,B.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 109.

Задача 11. В параллелограмме ABCD \(\angle \,A — \angle \,B = {26^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,C.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 103.

Задача 12. В параллелограмме ABCD \(\angle \,A:\angle \,B = 4:5.\) Найдите \(\angle \,D.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 100.

Задача 13. В параллелограмме ABCD \(\angle \,BAC = {30^ \circ },\,\,\,\,\angle \,CAD = {72^ \circ }.\) Найдите \(\angle \,D.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 78.

Задача 14. В прямоугольнике  ABCD  диагонали AC и BD пересекаются в точке O, \(\angle \,AOB = {40^ \circ }.\)  Найдите \(\angle \,ACB.\)  Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 20.

Задача 15. Дан ромб ABCD в котором AB = BD.  Найдите \(\angle \,BAC + \angle \,BDC.\) Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 90.

Задача 16. Дан квадрат ABCD и равносторонний треугольник ABO так, что точка O находится внутри квадрата. Найдите \(\angle \,BOC.\) Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 75.

Задача 17. Дан квадрат ABCD и равносторонний треугольник ABO так, что точка O находится вне квадрата. Найдите \(\angle \,BOC.\) Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 15.

Задача 18. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите \(\angle \,AKB.\)

Ответ

ОТВЕТ: 90.

Задача 19. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O,  AC = 10,  BD = 20,  AB = 12.  Найдите периметр треугольника OCD.

Ответ

ОТВЕТ: 27.

Задача 20. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Периметры треугольников COB и COD равны 28 и 25 соответственно,  BD = 12,  AC = 18.  Найдите периметр параллелограмма.

Ответ

ОТВЕТ: 46.

Задача 21. В параллелограмме ABCD биссектриса \(\angle \,B\) пересекает сторону AD в точке K, \(\angle \,ABK = {60^ \circ },\)  BK = 8,  KD = 3.  Найдите периметр четырехугольника BCDK.

Ответ

ОТВЕТ: 30.

Задача 22. Дан ромб ABCDBD = 8,  \(\angle \,BDA = {60^ \circ }.\)  Найдите периметр ромба.

Ответ

ОТВЕТ: 32.

Задача 23. Дан квадрат ABCD  расстояние, от точки пересечения диагоналей которого до его сторон равно 5.  Найдите периметр квадрата.

Ответ

ОТВЕТ: 40.

Задача 24. Дан прямоугольник ABCD  расстояние, от точки пересечения диагоналей которого до сторон BC и CD равно 1 и 3 соответственно.  Найдите периметр прямоугольника.

Ответ

ОТВЕТ: 16.

Задача 25. В параллелограмме ABCD на сторону CD опущена высота BK, \(\angle \,A = {60^ \circ },\)  AB = 6,  CK = 1.  Найдите периметр параллелограмма.

Ответ

ОТВЕТ: 16.

Задача 26. В параллелограмме ABCD на сторону AD опущена высота CK, \(\angle \,A = {120^ \circ },\)  BC = 8,  AK = 6.  Найдите периметр параллелограмма.

Ответ

ОТВЕТ: 24.

Задача 27. В параллелограмме ABCD AK и DM биссектрисы (см. рис.), AD = 14,  DC = 10.  Найдите  MK.

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Задача 28. В параллелограмме ABCD CK и BM биссектрисы (см. рис.), AD = 22,  DC = 7.  Найдите  MK.

Ответ

ОТВЕТ: 8.

Задача 29. Дан  прямоугольник  ABCD\(BK \bot AC,\)  AK : KC = 1 : 3,  CD = 10.  Найдите диагональ  BD.

Ответ

ОТВЕТ: 20.

Задача 30. Дан прямоугольник  ABCD  диагонали которого пересекаются в точке O, AK – биссектриса \(\angle \,BAO,\)  BK : OD = 1 : 2,  CO = 5. Найдите сторону  СD.

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Задача 31. В треугольнике ABC известно, что AB = 14, \(\angle \,A = {20^ \circ },\) \(\angle \,C = {80^ \circ },\) \(KD\parallel AC,\) \(DM\parallel AB.\)  Найдите периметр четырехугольника AKDM.

Ответ

ОТВЕТ: 28.

Задача 32. Точки M и K  являются соответственно серединами сторон AB и BC треугольника ABC. Через вершину C проведена прямая, параллельная AB и пересекающая луч MK в точке E. Докажите, что KE равен половине AC.