Геометрия 7-9 класс. Признаки подобия треугольников
Признаки подобия треугольников
- Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
- Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
- Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны.
Признаки подобия прямоугольных треугольников
- Они имеют по равному острому углу.
- Катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого треугольника.
- Гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого треугольника.
Площади подобных треугольников: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Отношение сторон подобных треугольников равно отношению любых соответствующих линейных размеров.
| Задача 1. По данным на рисунке найдите SK, если \(ST\parallel KL.\)
|
 |
| Задача 2. По данным на рисунке найдите ВЕ, если \(DE\parallel AC.\)
|
 |
| Задача 3. По данным на рисунке найдите СВ – AF.
|
 |
| Задача 4. По данным на рисунке найдите СВ – МЕ.
|
 |
| Задача 5. По данным на рисунке найдите площадь треугольника RKO.
|
 |
| Задача 6. По данным на рисунке найдите TF, если STFE – трапеция.
|
 |
| Задача 7. По данным на рисунке найдите периметр треугольника EFM, если MPKN параллелограмм.
|
 |
| Задача 8. По данным на рисунке найдите CF, если ABCD параллелограмм и АВ = 14.
|
 |
| Задача 9. По данным на рисунке найдите RE, если RT = 20.
|
 |
| Задача 10. По данным на рисунке найдите AD, если ВС = 24.
|
 |
| Задача 11. По данным на рисунке найдите ОС, если ABCD трапеция и АС = 14.
|
 |
| Задача 12. По данным на рисунке найдите BO, если ABCD трапеция и BD = 21.
|
 |
| Задача 13. По данным на рисунке найдите TL, если MNPT параллелограмм, NK = MT, NK : MN = 1 : 4 и ML = 20.
|
 |
| Задача 14. По данным на рисунке найдите МN, если RKLN параллелограмм и KQ = 15.
|
 |
| Задача 15. В остроугольном треугольнике АВС высоты АК и BH пересекаются в точке О. Найдите ОН, если ВО = 3, ОК = 2 и АО = 6.
|
|
| Задача 16. В остроугольном треугольнике АВС высоты СК и BH пересекаются в точке О. Найдите ОК, если СО = 5 и \(BO \cdot OH = 12.\)
|
|
| Задача 17. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC = 4 известно, что АС = 8 и \(\angle \,BAC = \angle \,ADC.\) Найдите длину основания AD.
|
|
| Задача 18. В трапеции ABCD с основаниями AD = 25 и BC = 4 известно, что \(\angle \,ABD = \angle \,BCD.\) Найдите длину диагонали ВD.
|
|
| Задача 19. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали AC и BD пересекаются в точке О, \({P_{\Delta \,AOD}}:{P_{\Delta \,BOC}} = 5:2.\) Найдите АО, если АС = 14.
|
|
| Задача 20. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали AC и BD пересекаются в точке О, \({S_{\Delta \,AOD}}:{S_{\Delta \,BOC}} = 9:1.\) Найдите АО, если АС = 16.
|
|
| Задача 21. По данным на рисунке найдите сторону АВ, если \(\angle \,CBA = 2\,\angle \,BAC.\)
|
 |
| Задача 22. По данным на рисунке найдите периметр треугольника NML.
|
 |
| Задача 23. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. Докажите подобие треугольников АВС и МВК. | |
| Задача 24. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. Найдите КС, если МВ = 3, ВК = 4 и АМ = 9.
|
|
| Задача 25. В трапеции АВСD с основаниями AD и ВС = 5 диагонали пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая параллельно основаниям, пересекающая боковые стороны трапеции в точках Е и F. Найдите длину основания AD, если EF = 8.
|
|
| Задача 26. В трапеции АВСD с основаниями AD = 20 и ВС = 5 диагонали пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая параллельно основаниям, пересекающая боковые стороны трапеции в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.
|
|
| Задача 27. В треугольнике АВС точки N, M и D принадлежат сторонам АВ, ВС и AС соответственно, причем \(MN\parallel AC\), а прямые MN и BD пересекаются в точке К. Известно, что площадь треугольника NBK равна 18, площадь трапеции ANKD равна 14 и КМ = 9. Найдите длину отрезка DC.
|
|
| Задача 28. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СК к гипотенузе АВ. При этом площади треугольников АКС и ВСК равны соответственно 4 и 16. Найдите длину гипотенузы АВ.
|
|
| Задача 29. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О. Площади треугольников ВОС и AOD равны соответственно 2 и 50. Найдите площадь трапеции.
|
|
| Задача 30. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О. Площади треугольников ВОС и СOD равны соответственно 4 и 16. Найдите площадь трапеции.
|
|
| Задача 31. В параллелограмме ABCD точка М принадлежит стороне ВС. Отрезки АС и DM пересекаются в точке К. Площади треугольников МСК и CKD равны соответственно 8 и 12. Найдите площадь параллелограмма.
|
|
| Задача 32. В треугольнике АВС точки М, N и K принадлежат сторонам АВ, ВС и AС соответственно, причем четырёхугольник AMNK является параллелограммом. Найдите площадь треугольника АВС, если площади треугольников MNB и KNC равны соответственно 16 и 25.
|
|
| Задача 33. В параллелограмме ABCD F – середина стороны ВС, AF пересекает BD в точке Е, СЕ пересекает АВ в точке К, КВ = 8, AD = 18, \(\angle \,ABC = {150^ \circ }.\) Найдите площадь параллелограмма.
|
|