Геометрия 7-9 класс. Касательная к окружности
Окружностью называется множество всех точек плоскости, находящихся на равном положительном расстоянии от некоторой точки этой же плоскости. Эта точка называется центром окружности, а данное расстояние радиусом окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен ей. Равные хорды окружности равноудалены от ее центра; равноудаленные от центра окружности хорды равны.
Касательная к окружности: если из точки к окружности проведены две касательные, то длины отрезков от этой точки до точек касания равны \(\left( {AM = AN} \right)\) и прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, обладает свойством: \(\angle \,MAO = \angle \,NAO\).
|
![]() |
Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому к точке касания (\(OA \bot AB\)). Мера угла между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги стягиваемой этой хордой, т.е. \(\angle \,AOC = 2\angle \,BAC\). |
![]() |
Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку (точку касания). 1) Точка касания двух окружностей лежит на линии центров этих окружностей. 2) Окружности радиусов r и R с центрами О1 и О2 касаются внешним образом тогда и только тогда, когда \(R + r = {O_1}{O_2}.\) 3) Окружности радиусов r и R \(\left( {r < R} \right)\) с центрами О1 и О2 касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда \(R — r = {O_1}{O_2}.\) 4) Окружности с центрами О1 и О2 касаются внешним образом в точке K. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках A и B и пересекается с общей касательной, проходящей через точку K, в точке C. Тогда \(\angle \,AKB = {90^\circ }\) и \(\angle \,{O_1}C{O_2} = {90^\circ }\) и CA = CB = CK. 5) Отрезок общей внешней касательной AB к двум касающимся окружностям радиусов r и R равен отрезку общей внутренней касательной CD, заключённому между общими внешними касательными и эти отрезки \(AB = CD = MN = 2\sqrt {Rr} .\) |
![]() |
Задача 1. Радиус окружности равен 4. Расстояние от центра окружности до прямой равно \(\sqrt {19} .\) Сколько общих точек имеет окружность и прямая.
|
|
Задача 2. Радиус окружности равен 14. Расстояние от центра окружности до прямой равно 14. Сколько общих точек имеет окружность и прямая.
|
|
Задача 3. Радиус окружности равен 4. Расстояние от центра окружности до прямой равно 3,4. Сколько общих точек имеет окружность и прямая.
|
|
Задача 4. Радиус окружности равен 5. Расстояние от центра окружности до прямой равно \(\sqrt {24} .\) Сколько общих точек имеет окружность и прямая.
|
|
Задача 5. По данным на рисунке найдите \(\angle \,KLO,\) если \(\angle \,KOL = {58^ \circ }\), а прямая KL является касательной к окружности. Ответ дайте в градусах.
|
![]() |
Задача 6. По данным на рисунке найдите \(\angle \,KOL,\) если \(\angle \,KLO = {26^ \circ }\), а прямая KL является касательной к окружности. Ответ дайте в градусах.
|
![]() |
Задача 7. По данным на рисунке найдите KL, если ОК = 6, OL = 10, а прямая KL является касательной к окружности.
|
![]() |
Задача 8. По данным на рисунке найдите ОL, если ОК = 5, КL = 12, а прямая KL является касательной к окружности.
|
![]() |
Задача 9. По данным на рисунке найдите \(\angle \,NMK,\) если ON = 3, OM = 6, а прямые MN и MK являются касательными к окружности. Ответ дайте в градусах.
|
![]() |
Задача 10. По данным на рисунке найдите KO, если OM = 7, \(\angle \,NOM = {120^ \circ },\) а прямые KM и KN являются касательными к окружности.
|
![]() |
Задача 11. По данным на рисунке найдите \(\angle \,BAC,\) если ОА = АВ, а прямая АС является касательной к окружности. Ответ дайте в градусах.
|
![]() |
Задача 12. По данным на рисунке найдите \(\angle \,AMB,\) если ОА = АВ, а прямые МА и МВ являются касательными к окружности. Ответ дайте в градусах.
|
![]() |
Задача 13. По данным на рисунке найдите MN, если KM = 7, \(\angle \,OKM = {30^ \circ }\), а прямые КМ и КN являются касательными к окружности.
|
![]() |
Задача 14. По данным на рисунке найдите \(\angle \,AMB,\) если \(\angle \,AOB = {138^ \circ },\) а прямые МА и МВ являются касательными к окружности. Ответ дайте в градусах.
|
![]() |
Задача 15. По данным на рисунке найдите OK, если BM = 3, AM = 8, \(\angle \,KOM = {60^ \circ }\) и точка О – центр окружности.
|
![]() |
Задача 16. По данным на рисунке найдите AD, если ABCD равнобедренная трапеция и OE = 7,5.
|
![]() |
Задача 17. По данным на рисунке найдите ОК, если OМ = ON = 29, MN = 40, а прямая MN является касательной к окружности.
|
![]() |
Задача 18. По данным на рисунке найдите АС, если АВ = 4, ОС = 3 и прямая АВ является касательной к окружности.
|
![]() |
Задача 19. По данным на рисунке найдите ВС, если КВ = 4, ОС = 3, а прямая АВ является касательной к окружности.
|
![]() |
Задача 20. По данным на рисунке найдите АВ, если радиусы окружностей равны 25 и 16, а прямая АВ является касательной к окружностям.
|
![]() |
Задача 21. По данным на рисунке найдите радиус меньшей окружности, если радиус большей окружности равен 9 и АВ = 12, а прямая АВ является касательной к окружностям.
|
![]() |
Задача 22. По данным на рисунке найдите МК, если радиусы окружностей равны 15 и 8, расстояние между центрами окружностей равно 25, а прямая МК является касательной к окружностям.
|
![]() |
Задача 23. По данным на рисунке найдите АВ, если АМ = 1, ВN = 4, а прямые АМ, ВN и MN являются касательными к окружности.
|
![]() |
Задача 24. По данным на рисунке найдите периметр треугольника АВМ, если ОМ = 10, \(\angle \,AOB = {60^ \circ },\) а прямые АМ и ВМ являются касательными к окружности.
|
![]() |
Задача 25. По данным на рисунке найдите периметр треугольника MEF, если ОA = 12, а прямые АМ, ВМ и EF являются касательными к окружности.
|
![]() |
Задача 26. По данным на рисунке найдите MN, если периметр треугольника МАВ равен 25, а прямые МN, МK и AB являются касательными к окружности.
|
![]() |
Задача 27. По данным на рисунке найдите DC, если OB = OA = 10, радиус окружности равен 6, а прямая AB является касательной к окружности.
|
![]() |
Задача 28. По данным на рисунке найдите радиус окружности, если АB = 6, AС = 10, а прямая AС является касательной к окружности.
|
![]() |
Задача 29. По данным на рисунке найдите угол \(\angle \,{O_1}M{O_2}.\) Ответ дайте в градусах.
|
![]() |
Задача 30. По данным на рисунке найдите угол \(\angle \,M{O_1}{O_2},\) если \(\angle \,M{O_2}{O_1} = {33^ \circ }.\) Ответ дайте в градусах.
|
![]() |
Задача 31. По данным на рисунке найдите МК, если радиусы окружностей равны 5 и 3, расстояние между центрами окружностей равно 10, а прямая МК является касательной к окружностям.
|
![]() |
Задача 32. Две окружности вписаны в угол ВАС. Одна из окружностей имеет в двое больший радиус и проходит через центр другой. Найдите \(\angle BAC.\) Ответ дайте в градусах.
|
|
Задача 33. По данным на рисунке найдите радиус окружности.
|
![]() |