Геометрия 7-9 класс. Вписанная окружность
Центр окружности вписанной в треугольник совпадает с точкой пересечения биссектрис этого треугольника.
Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности, т.е. \(S = p\,\,r\), где \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\) – полупериметр, а r – радиус вписанной окружности.
Если четырехугольник описан около окружности, то суммы противолежащих сторон равны, т.е. \(AB + CD = BC + AD\). Верно и обратное: если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противолежащих сторон равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность.
Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь \(S = p\,r\), где p – полупериметр многоугольника, а r – радиус вписанной окружности.
| Задача 1. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 5 и 7, считая от основания. Найдите периметр треугольника.
|
| Задача 2. В прямоугольный треугольник с гипотенузой равной 25, вписана окружность, радиус которой равен 2. Найдите периметр треугольника.
|
| Задача 3. Найдите периметр прямоугольного треугольника, сумма катетов которого равна 25, а радиус вписанной окружности 3.
|
| Задача 4. Найдите радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12.
|
| Задача 5. Периметр треугольника равен 14, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.
|
| Задача 6. Площадь треугольника равна 6, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите периметр этого треугольника.
|
| Задача 7. Площадь треугольника равна 72, а его периметр 36. Найдите радиус вписанной окружности.
|
| Задача 8. Около окружности, радиус которой равен 1, описан многоугольник, площадь которого равна 9. Найдите его периметр.
|
| Задача 9. Около окружности, радиус которой равен 2, описан многоугольник, периметр которого равен 18. Найдите его площадь.
|
| Задача 10. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна 60. Его периметр равен 30. Найдите радиус этой окружности.
|
| Задача 11. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 13,5.
|
| Задача 12. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 1,8. Найдите высоту этого треугольника.
|
| Задача 13. Сторона правильного треугольника равна \(20\sqrt 3 \). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
|
| Задача 14. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен \(2\sqrt 3 \). Найдите сторону этого треугольника.
|
| Задача 15. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны \(24 + 12\sqrt 2 \). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
|
| Задача 16. В треугольнике ABC \(AC = 6,\;\;BC = 2,5,\) угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.
|
| Задача 17. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.
|
| Задача 18. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 и 6. Найдите радиус вписанной окружности.
|
| Задача 19. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 24 и 10. Найдите периметр треугольника.
|
| Задача 20. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 3, 7, 8. Найдите периметр данного треугольника.
|
| Задача 21. В треугольник АВС вписана окружность с центром в точке О. Найдите \(\angle \,ABC,\) если \(\angle \,AOC = {118^ \circ }.\) Ответ дайте в градусах.
|
| Задача 22. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ = 12, вписана окружность, которая делит боковую сторону АС на отрезки AD и DC, причём CD : DA = 5 : 2. Найдите периметр треугольника АВС.
|
| Задача 23. В четырёхугольник ABCD вписана окружность. Найдите периметр этого четырёхугольника, если АВ + CD = 13.
|
| Задача 24. В четырехугольник ABCD вписана окружность, \(AB = 4,5,\) \(CD = 7,5.\) Найдите периметр четырёхугольника.
|
| Задача 25. В четырехугольник ABCD вписана окружность, \(AB = 3,8,\) \(BC = 7,5\) и \(CD = 12,1.\) Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.
|
| Задача 26. Радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD равен 5. Найдите площадь четырёхугольника, если АВ + CD = 24.
|
| Задача 27. В четырехугольник, площадь которого равна 50, вписана окружность. Найдите радиус этой окружности, если сумма двух противоположных сторон четырёхугольника равна 20.
|
| Задача 28. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, делит боковую на отрезки 3 и 7. Найдите периметр трапеции.
|
| Задача 29. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 20 и 2. Найдите среднюю линию трапеции.
|
| Задача 30. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 92. Найдите ее среднюю линию.
|
| Задача 31. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 36, ее большая боковая сторона равна 14. Найдите радиус окружности.
|
| Задача 32. В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 54, вписана окружность. Найдите AD, если АВ : ВС : CD = 2 : 6 : 7.
|
| Задача 33. В равнобедренную трапецию ABCD, с основаниями AD и ВС = 6, вписана окружность, с центром в точке О. Найдите ОС, если \(\angle \,A = {60^ \circ }.\)
|
| Задача 34. Найдите площадь трапеции в которую можно вписать окружность радиуса 5 и средняя линия которой равна 12.
|
| Задача 35. В равнобедренную трапецию с основаниями BC = 2 и AD вписана окружность радиуса 2. Найдите площадь трапеции.
|
| Задача 36. Найдите острый угол ромба, сторона которого равна 12, а радиус вписанной окружности равен 3. Ответ дайте в градусах.
|
| Задача 37. Сторона ромба равна 70, острый угол равен 30°. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.
|
| Задача 38. Острый угол ромба равен 30°. Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 10,5. Найдите сторону ромба.
|
| Задача 39. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен \(29\sqrt 3 \).
|
| Задача 40. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной \(52\sqrt 3 \).
|
| Задача 41. В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С вписана окружность с центром в точке О. Найдите ВС, если \(\angle \,A = {60^ \circ }\) и АО = 20.
|
|
| Задача 42. По данным на рисунке найдите QS, если MQ =15, MN = 19, QN = 21.
|
 |
| Задача 43. В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С вписана окружность радиус которой равен \(4\sqrt 3 .\) Найдите площадь треугольника АВС, если \(\angle \,A = {60^ \circ }.\)
|
|
| Задача 44. В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С вписана окружность радиус которой равен 4. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 20.
|
|
| Задача 45. По данным на рисунке найдите АВ, если АС = ВС, \(OD = \frac{2}{5}CD\) и периметр треугольника АВС равен 40.
|
 |
| Задача 46. По данным на рисунке найдите радиус окружности OD, если АС = ВС = 20 и СО = 10.
|
|
| Задача 47. По данным на рисунке найдите АВ, если АС = ВС = 30 и CO : OD = 12 : 5.
|
|
| Задача 48. По данным на рисунке найдите радиус вписанной окружности OD, если АС = ВС = 10 и \(\cos A = \frac{3}{5}.\)
|
|
| Задача 49. В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями ВС и AD вписана окружность. Найдите площадь трапеции, если средняя линия трапеции равна 22 и \(\angle \,A = {30^ \circ }.\)
|
|
| Задача 50. В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями ВС и AD вписана окружность. Найдите площадь трапеции, если радиус вписанной окружности равен 10 и \(\angle \,A = {60^ \circ }.\)
|
|
| Задача 51. В прямоугольную трапецию ABCD с основаниями ВС и AD вписана окружность, с центром в точке О. Найдите площадь трапеции, если ОС = 3, OD = 4 и \(\angle \,A = {90^ \circ }.\)
|
|
| Задача 52. В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями ВС и AD вписана окружность, с центром в точке О. Найдите площадь трапеции, если ОС = 6, OD = 8.
|
|
| Задача 53. В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями ВС и AD вписана окружность, радиус которой равен 2. Найдите AD, если ВС = 2.
|
|
| Задача 54. В трапецию вписана окружность. Найдите площадь трапеции, если боковые стороны трапеции равны 10 и 17, а разность оснований 21.
|
|
| Задача 55. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, делит боковую сторону на отрезки 2 и 8. Найдите площадь трапеции.
|
|
| Задача 56. Найдите радиус окружности вписанной в ромб, периметр которого равен 20, а одна из диагоналей 8.
|
|