ЕГЭ Профиль №14. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. Расстояние от точки до прямой можно вычислить, как длину отрезка перпендикуляра, если удается включить этот отрезок в некоторый треугольник в качестве одной из высот. При этом если длины сторон треугольника все разные a, b, c (треугольник не равносторонний и не равнобедренный), то высоту треугольника, например, к стороне a можно искать по следующему алгоритму: 1) по теореме косинусов находим косинус угла между сторонами a и b; 2) зная косинус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество, найти его синус; 3) синус найденного угла есть отношение искомой высоты к стороне b. В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.
Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Расстояние от точки M до плоскости α: 1) равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки P, лежащей на прямой l, которая проходит через точку M и параллельна плоскости α; 2) равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки P, лежащей на плоскости α, которая проходит через точку M и параллельна плоскости α. Метод объемов: Если объем пирамиды ABCS равен \({V_{ABCS}}\), то расстояние от точки S до плоскости ABC можно найти используя формулу объема пирамиды: \({V_{ABCS}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \cdot H\), где H – расстояние от точки S до плоскости ABC.
Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.
Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра, которое равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.
1В. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной \(AB = 4\) и диагональю \(BD = 7\). Все боковые ребра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребре AS – точка F так, что \(SF = BE = 3.\)
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.
2В. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На ребрах B1C1 и AB отмечены точки P и Q соответственно, причем \(P{C_1} = 3,\quad AQ = 4.\) Плоскость A1PQ пересекает ребро BC в точке М.
а) Докажите, что точка М является серединой ребра BC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости A1PQ.
3В. На ребрах CD и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 12 отмечены точки P и Q соответственно, причем \(DP = 4,\;\;{B_1}Q = 3.\) Плоскость APQ пересекает ребро СС1 в точке М.
а) Докажите, что точка М является серединой ребра СC1.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости APQ.
4В. В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С, \(AC = 4,\;\;BC = 16,\) \(A{A_1} = 4\sqrt 2 .\) Точка Q – середина ребра A1B1, а точка P делит ребро B1C1 в отношении 1 : 2, считая от вершины С1. Плоскость APQ пересекает ребро СС1 в точке М.
а) Докажите, что точка М является серединой ребра СC1.
б) Найдите расстояние от точки А1 до плоскости APQ.
5В. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона АВ основания равна 8, а боковое ребро AA1 равно \(4\sqrt 2 \). На ребрах BC и С1D1 отмечены точки K и L соответственно, причем \(BK = {C_1}L = 2.\) Плоскость \(\alpha \) параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости \(\alpha \).
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости \(\alpha \).
6В. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 12, а боковое ребро АА1 равно \(3\sqrt 6 \). На ребрах АВ и В1С1 отмечены точки К и L соответственно, причем \(AK = 2,\;\;{B_1}L = 4.\) Точка М – середина ребра А1С1. Плоскость \(\alpha \) параллельна прямой АС и содержит точки К и L.
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости \(\alpha \).
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости \(\alpha \).
7В. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 5. На ребрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что \(PA = AQ = RC = 2\).
а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.
б) Найдите расстояние от точки D до плоскости PQR.
\(\frac{{BQ}}{{QA}} = \frac{{BR}}{{RC}}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,QR\parallel AC,\) но \(AC \bot BD,\) тогда \(DB \bot QR.\) Следовательно, \(SD \bot QR\) по теореме о трёх перпендикулярах. \(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{SD \bot QR}\\{SD \bot PQ}\end{array}} \right\}\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,SD \bot PQR.\) б) Искомое расстояние DE. Треугольник SEP прямоугольный с гипотенузой SP и \(\angle PSE = {60^ \circ }.\) Тогда \(\cos {60^ \circ } = \frac{{SE}}{{SP}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,SE = \frac{3}{2}\) и \(DE = DS — SE = 5 — \frac{3}{2} = \frac{7}{2}.\) Ответ: \(\frac{7}{2}.\)
а) Сечение QPENR. Так как \(\frac{{AQ}}{{QB}} = \frac{{AP}}{{PS}},\) то \(PQ\parallel SB.\) \(AS = BS = 5\), \(BD = 5\sqrt 2 \) (диагональ квадрата). Следовательно, треугольник BDS прямоугольный \(\left( {DS \bot SB} \right)\). Тогда \(DS \bot PQ\) (так как \(PQ\parallel SB\)). Прямая DB является проекцией SD на плоскость АВС.
8В. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 30, а боковое ребро SA равно 28. Точки M и N – середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость \(\alpha \) содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость \(\alpha \) делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки С.
б) Найдите расстояние от точки А до плоскости \(\alpha \).
9В. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 основание ABCD — квадрат. Точка M — центр боковой грани BCC1B1.
а) Докажите, что плоскость A1D1M делит диагональ AC1 в отношении 2 : 1, считая от точки A.
б) Найдите расстояние от точки M до прямой BD1, если сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 3.
10В. Дана треугольная призма ABCA1B1C1 с основаниями ABC и A1B1C1. Точка M — центр боковой грани BCC1B1.
а) Постройте точку пересечения прямой A1M с плоскостью ABC.
б) Найдите расстояние от точки M до прямой AB1, если призма прямая, ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом C, а диагонали боковых граней AA1B1B и BB1C1C равны 17 и 15 соответственно.
11В. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1.
а) Докажите, что плоскость CA1F1 делит ребро BB1 пополам.
б) Найдите расстояние от точки C до прямой A1F1, если стороны основания призмы равны 5, а боковые рёбра равны 11.
12В. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S.
а) Докажите, что плоскость α, проходящая через ребро AB и середину ребра SE, делит ребро SC в отношении 2 : 1, считая от вершины S.
б) Найдите расстояние от точки S до плоскости α, если сторона основания пирамиды равна \(2\sqrt 3 \), а угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды равен 60º.
13В. Основание пирамиды DABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Высота пирамиды проходит через середину ребра AC, а боковая грань ACD — равносторонний треугольник.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро BC и произвольную точку M ребра AD, — прямоугольный треугольник.
б) Найдите расстояние от вершины D до этой плоскости, если M — середина ребра AD, а высота пирамиды равна 6.
14В. Основание пирамиды SABCD — прямоугольник ABCD. Высота SH пирамиды лежит в плоскости CSD.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро BC и произвольную точку M ребра SA, отличную от S и A, — прямоугольная трапеция.
б) Найдите расстояние от вершины S до этой плоскости, если H — середина ребра CD, M — середина ребра SA, \(SC = CD,\;\;SH = 2\sqrt 3 \).
15В. Основание пирамиды SABCD — квадрат ABCD. Боковое ребро SD перпендикулярно плоскости основания. Точка M — середина высоты пирамиды.
а) Докажите, что прямая SB параллельна плоскости ACM.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости ACM, если \(AB = 8\), а угол между плоскостью ACM и плоскостью основания пирамиды равен 45º.
16В. Основание пирамиды SABCD — прямоугольник ABCD. Боковое ребро SD перпендикулярно плоскости основания.
а) Докажите, что прямые SC и AD перпендикулярны.
б) Пусть M — середина высоты пирамиды. Найдите расстояние от точки B до плоскости ACM, если AB = 8, BC = 6, а синус угла между плоскостью ACM и плоскостью основания пирамиды равен 5/6.
17В. Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF — правильный шестиугольник ABCDEF. Высота пирамиды втрое больше стороны основания и проходит через точку E.
а) Докажите, что угол между боковой гранью ASB и плоскостью основания равен 60º.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости ASB, если сторона основания пирамиды равна 4.
18В. Основание шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 — правильный шестиугольник ABCDEF c центром O. Отрезок OA1 — высота призмы.
а) Докажите, что плоскость FF1E перпендикулярна плоскости основания призмы.
б) Найдите расстояние от точки A до плоскости BCC1, если сторона основания призмы равна \(2\sqrt 3 \).
19В. Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1.
а) Докажите, что плоскость ADC1 перпендикулярна плоскости FBB1.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости ADC1, если AA1 = 4, а косинус угла между прямой AC1 и плоскостью ABC равен \(\frac{3}{{\sqrt {13} }}\).
20В. Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA1B1C1D1 со стороной основания \(\sqrt 2 \) и боковым ребром 2. Точки M и N — середины рёбер A1B1 и CC1 соответственно.
а) Докажите, что MN ⊥ BC1.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости BC1D.
21В. Основание пирамиды SABCD — равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC, причём AD = 2BC = 2AB. Высота SH пирамиды проходит через точку пересечения прямых AB и CD.
а) Докажите, что треугольник SBD прямоугольный.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости ASD, если SH = BC = 4.
22В. Основание пирамиды SABCD — прямоугольная трапеция ABCD с большим основанием AD и прямым углом D. Высота SH пирамиды проходит через точку пересечения прямых AB и CD.
а) Докажите, что грань ASD — прямоугольный треугольник.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости ASD, если AD = 3BC = 3, ∠BAD = 45º и SH = 4.
23В. Боковые рёбра пирамиды SABC с вершиной S попарно перпендикулярны.
а) Докажите, что высота SH пирамиды проходит через точку пересечения высот основания ABC.
б) Найдите SH, если боковые рёбра равны 2, 2 и \(7\sqrt 2 \).
24В. Боковые рёбра пирамиды SABC с вершиной S попарно перпендикулярны, M — произвольная точка на ребре BC.
а) Докажите, что плоскости AMS и BSC перпендикулярны.
б) Высота SH пирамиды равна 12. Прямая AH пересекает ребро BC в точке K. Найдите расстояние от точки K до прямой AS, если AS = 20.
25В. Плоскость проходит через середины боковых рёбер DA и DC треугольной пирамиды DABC и точку пересечения медиан основания ABC.
а) Постройте точку пересечения этой плоскости с прямой DB.
б) Найдите расстояние от точки A до этой плоскости, если все рёбра пирамиды равны \(3\sqrt 6 \).
26В. Плоскость проходит через середины сторон AD и BC основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и точку пересечения медиан боковой грани CSD.
а) Постройте точку пересечения прямой AS с этой плоскостью.
б) Найдите расстояние от точки B до этой плоскости, если все рёбра пирамиды равны \(2\sqrt 3 \).
27В. Все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 — равные ромбы, причём плоские углы при вершине C острые.
а) Докажите, что AA1 ⊥ BD.
б) Найдите расстояние от вершины C до плоскости A1B1C1, если плоские углы при вершине C равны 60°, а \(A{A_1} = \sqrt 6 \).
28В. Основание наклонной призмы ABCA1B1C1 — равносторонний треугольник ABC. Боковые грани AA1B1B и AA1C1C — равные ромбы с острым углом при общей вершине A.
а) Докажите, что боковая грань BB1C1C — квадрат.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости BB1C1, если ∠CAA1 = 60°, а сторона основания призмы равна \(\sqrt 2 \).
29В. Основание пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. Боковые рёбра SA и SD равны. Точка M лежит на боковом ребре SC и не совпадает с его концами. Плоскость α проходит через точку M параллельно прямым BC и SA.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α — равнобедренная трапеция.
б) Найдите расстояние от точки A до плоскости α, если боковая сторона этой трапеции равна меньшему основанию, а все рёбра пирамиды равны 1.
30В. Точка K лежит на стороне AB основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, все рёбра которой равны. Плоскость α проходит через точку K параллельно плоскости ASD. Сечение пирамиды плоскостью α — четырёхугольник, в который можно вписать окружность.
а) Докажите, что BK = 2AK.
б) Найдите расстояние от вершины S до плоскости α, если все рёбра пирамиды равны 1.
31В. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 4 и AK = 3.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости SBC.
32В. ABCA1B1C1 — правильная призма, сторона AB равна 16. Через точки M и P, лежащие на рёбрах AC и BB1 соответственно, проведена плоскость α, параллельная прямой AB. Сечение призмы этой плоскостью — четырёхугольник, одна сторона которого равна 16, а три другие равны между собой.
а) Докажите что периметр сечения призмы плоскостью α больше 40.
б) Найдите расстояние от точки A до плоскости α, если упомянутый периметр равен 46.
33В. Точка O — центр основания ABCDEF правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF. Точки K, L, M, T — середины отрезков AF, SF, SD, MK соответственно.
а) Докажите, что точка T лежит на отрезке LO.
б) Найдите CT, если сторона основания пирамиды равна 4, а высота пирамиды равна 48.